{"id":169943,"date":"2020-11-23T21:35:50","date_gmt":"2020-11-23T23:35:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=169943"},"modified":"2024-06-26T21:05:19","modified_gmt":"2024-06-27T00:05:19","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-perimetro-de-um-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-perimetro-de-um-triangulo\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Per\u00edmetro de um tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nDado um quadrado [tex]ABCD[\/tex], escolhemos um ponto [tex]P[\/tex], no lado [tex]\\overline{CD}[\/tex], e um ponto [tex]Q[\/tex], no lado [tex]\\overline{DA}[\/tex], de modo que o \u00e2ngulo determinado pelos segmentos [tex]\\overline{BP}[\/tex] e [tex]\\overline{BQ}[\/tex] me\u00e7a [tex]45^\\circ[\/tex], conforme ilustra a figura a seguir.
\n\"\"<\/p>\n

Se o comprimento de cada lado do quadrado [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 [tex]x[\/tex], qual \u00e9 o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]PDQ[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]x[\/tex]?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Lembrete e Nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n ✏<\/strong> <\/span> Caso de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos L.A.L. (lado \u2013 \u00e2ngulo \u2013 lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse resultado, clique AQUI<\/strong>.)<\/a><\/span>.<\/p>\n

✏<\/strong> <\/span>Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nDenotaremos as medidas em graus dos \u00e2ngulos [tex]A\\hat{B}Q[\/tex] e [tex]P\\hat{B}C[\/tex] por [tex]a\\,[\/tex] e [tex]\\,b[\/tex], respectivamente.
\nInicialmente, observamos que [tex]a+45^\\circ +b=90^\\circ[\/tex]; assim, [tex]\\boxed{a+b=45^\\circ}\\,.[\/tex]
\nAgora, no prolongamento do segmento [tex]\\overline{AD}[\/tex] vamos tomar o ponto [tex]P'[\/tex] tal que [tex]AP’=CP[\/tex] e construir o tri\u00e2ngulo [tex]BAP'[\/tex], conforme indica a figura a seguir.
\n\"\"
\nComo [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um quadrado, pelo Caso de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos L.A.L.<\/strong>, os tri\u00e2ngulos [tex]BCP[\/tex] e [tex]BAP'[\/tex] s\u00e3o congruentes; portanto, [tex]BP’=BP\\,[\/tex] e a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{B}P'[\/tex] \u00e9 [tex]b\\,.[\/tex]
\n\"\"
\nComo sabemos que [tex]a+b=45^\\circ[\/tex], o Caso de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos L.A.L.<\/strong> tamb\u00e9m garante a congru\u00eancia dos tri\u00e2ngulos [tex]QBP[\/tex] e [tex]QBP’\\,[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

Com isso, conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{PQ=P’Q}[\/tex] e j\u00e1 podemos, finalmente, calcular o per\u00edmetro [tex]\\textcolor{#5CB3FF}{Perim}[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]PDQ:[\/tex]
\n[tex]\\quad \\\\
\n\\quad \\begin{align*}\\textcolor{#5CB3FF}{Perim}&=QD+DP+PQ\\\\
\n&=QD+DP+P’Q\\\\
\n&=QD+DP+\\left(P’A+AQ\\right)\\\\
\n&=\\left(AQ+QD\\right)+DP+P’A\\\\
\n&=AD+DP+P’A\\\\
\n&=AD+DP+PC\\\\
\n&=AD+DC\\\\
\n&=x+x=2x\\,.\\\\
\n\\end{align*}
\n[\/tex]
\nPortanto, o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]PDQ[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2x$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n
\n
\n

Um applet para ajudar <\/p>\n

\n

\n

Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
\n(1)<\/strong> Movimente os pontos [tex]\\color{red}{P}[\/tex] e [tex]\\color{#7D7DFF}{Q}[\/tex] que aparecem no applet at\u00e9 obter um \u00e2ngulo [tex]Q\\hat{B}P[\/tex] de [tex]45^\\circ[\/tex], como previsto no problema. Definido esse \u00e2ngulo, compare a sua resposta com a resposta do applet, observando que no applet constru\u00edmos um quadrado com lados medindo [tex]x=5\\,.[\/tex]
\n(2)<\/strong> Para movimentar o ponto [tex]\\color{red}{P}[\/tex] (ou o ponto [tex]\\color{#7D7DFF}{Q}[\/tex]), basta clicar sobre ele com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, manter o bot\u00e3o pressionado e fazer o movimento lentamente. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto [tex]\\color{red}{P}[\/tex] (ponto [tex]\\color{#7D7DFF}{Q}[\/tex]) e moviment\u00e1-lo horizontalmente (verticalmente).)
\n(3)<\/strong> Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados e que a visualiza\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es particulares de um fato matem\u00e1tico n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\n