Problema Extra\u00eddo de M\u00e9todos de Contagem e Probabilidade<\/strong> – Paulo Cezar Pinto Carvalho.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n ▶ Primeira chave: [tex]\\dfrac{16\\times 15\\times 14\\times 13}{4!} [\/tex]; Agora, se considerarmos o Brasil e a Argentina como um time s\u00f3, j\u00e1 que esses dois times dever\u00e3o estar em um mesmo grupo, o n\u00famero de possibilidades de defini\u00e7\u00e3o desse grupo ser\u00e1 [tex]\\dfrac{1\\times 14\\times 13}{2!}[\/tex]. Dividindo o n\u00famero de possibilidades de Brasil e Argentina estarem juntos pelo n\u00famero das possibilidades totais, temos: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube OS INCOMENSUR\u00c1VEIS DO RIO GRANDE DO NORTE<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Suponha que dezesseis sele\u00e7\u00f5es, entre as quais Brasil e Argentina, v\u00e3o participar de um torneio. Ser\u00e3o formados quatro grupos de quatro sele\u00e7\u00f5es, por meio de um sorteio. Qual \u00e9 a probabilidade de que Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo? Extra\u00eddo de M\u00e9todos de Contagem … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nSuponha que dezesseis sele\u00e7\u00f5es, entre as quais Brasil e Argentina, v\u00e3o participar de um torneio. Ser\u00e3o formados quatro grupos de quatro sele\u00e7\u00f5es, por meio de um sorteio.
\n![\"cl\u00e1ssico](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/01\/cl\u00e1ssico-sul-americano.jpg\")
\nQual \u00e9 a probabilidade de que Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo?<\/strong><\/p>\n
\nTemos dois modos de resolver o problema: o modo mais “econ\u00f4mico” e o modo mais explicado.
\nVamos come\u00e7ar pelo “econ\u00f4mico”.
\nSe o Brasil cair em um Grupo X<\/strong>, a Argentina ter\u00e1 [tex]3[\/tex] vagas abertas para entrar nesse grupo e ter\u00e1 mais [tex]12[\/tex] vagas fora do grupo, contando [tex]15[\/tex] vagas no total.
\nComo queremos calcular a probabilidade de a Argentina ficar no mesmo grupo do Brasil, a resposta ser\u00e1: [tex]\\dfrac{3}{15}= \\dfrac{1}{5}[\/tex].
\nEssa maneira pode parecer n\u00e3o muito segura; por isso, vamos pensar de outra maneira…
\nNa pr\u00f3xima maneira, vamos calcular inicialmente as possibilidades de composi\u00e7\u00e3o das chaves do torneio:<\/p>\n
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\n▶ Segunda chave: [tex]\\dfrac{12\\times 11\\times 10\\times 9}{4!} [\/tex];
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\n▶ Terceira chave: [tex]\\dfrac{8\\times 7\\times 6\\times 5}{4!} [\/tex];
\n
\n▶ Quarta chave: [tex]\\dfrac{4!}{4!} [\/tex].<\/p>\n\n
\nPor\u00e9m devemos multiplicar esse total por [tex]4[\/tex], que \u00e9 a quantidade de grupos dos quais Brasil e Argentina podem fazer parte:
\n
\n▶ 1° Grupo: [tex]\\dfrac{4\\times 14\\times13}{2!}[\/tex]
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\n▶ 2° Grupo: [tex]\\dfrac{12\\times 11\\times 10\\times 9}{4!} [\/tex]
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\n▶ 3° Grupo: [tex]\\dfrac{8\\times 7\\times 6\\times 5}{4!}[\/tex]
\n
\n▶ 4° Grupo: [tex]\\dfrac{4!}{4!}[\/tex]<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\dfrac {\\, \\, \\dfrac{14!\\times 2}{(4!)^3}\\, \\, } {\\, \\, \\dfrac{16!}{(4!)^4}\\, \\, } = \\dfrac{14!\\times 2}{(4!)^3} \\times \\dfrac{(4!)^4}{16!} = \\dfrac{2\\times (4!)}{16 \\times 15} = \\dfrac{1}{5}.[\/tex]<\/span><\/p>\n
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