{"id":169594,"date":"2020-11-11T21:45:25","date_gmt":"2020-11-11T23:45:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=169594"},"modified":"2023-07-24T21:58:16","modified_gmt":"2023-07-25T00:58:16","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-soma-produto-e-quociente","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-soma-produto-e-quociente\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Soma, produto e quociente"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nExistem dois n\u00fameros reais cuja soma, o produto e o quociente sejam iguais entre si?\n<\/div>\n

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\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\nSejam [tex]x\\,[\/tex] e [tex]\\, y[\/tex] n\u00fameros reais, com [tex]y\\ne 0 [\/tex], tais que [tex]\\boxed{x+y=x\\cdot y=\\frac{x}{y}}\\,.[\/tex]
\nAssim, particularmente, temos o seguinte sistema:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{cases}
\nx+y=x\\cdot y\\\\
\nx+y=\\frac{x}{y}
\n\\end{cases}\\,.[\/tex]
\nDe [tex]x+y=\\frac{x}{y}[\/tex] segue que:
\n[tex]\\quad xy+y^2=x\\\\
\n\\quad x-xy=y^2\\\\
\n\\quad x(1-y)=y^2\\\\
\n\\quad x=\\dfrac{y^2}{1-y} \\text{, para }y\\ne 1.[\/tex]
\nAntes de prosseguir, perceba que [tex]y=1[\/tex] n\u00e3o satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do problema. De fato, se [tex]y=1[\/tex], das equa\u00e7\u00f5es do sistema obter\u00edamos [tex]x+1=x[\/tex]; mas sabemos que [tex]x+1\\ne x[\/tex] para qualquer [tex]x[\/tex] real (caso contr\u00e1rio, concluir\u00edamos que [tex]1=0[\/tex], n\u00e3o \u00e9?).
\nSubstituindo [tex] x=\\dfrac{y^2}{1-y}[\/tex] em [tex]x+y=x\\cdot y[\/tex], segue que
\n[tex]\\quad \\dfrac{y^2}{1-y}+y=\\dfrac{y^2}{1-y}\\cdot y\\\\
\n\\quad \\cancel{y}\\cdot\\left( \\dfrac{y}{1-y}+1\\right)=\\dfrac{y^2}{1-y}\\cdot \\cancel{y}\\text{, observe que } y \\ne 0\\\\
\n\\quad \\dfrac{y}{1-y}+1=\\dfrac{y^2}{1-y}\\\\
\n\\quad y+\\left(1-y\\right)=y^2\\\\
\n\\quad y^2=1\\\\
\n\\quad y=1 \\text{ ou } y=-1.
\n[\/tex]
\nJ\u00e1 sabemos que [tex]y=1[\/tex] n\u00e3o satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do problema; assim, [tex]y=-1[\/tex] e de [tex]x+y=x\\cdot y[\/tex] segue que:
\n[tex]\\quad x-1=x\\cdot -1\\\\
\n\\quad x-1=-x\\\\
\n\\quad 2x=1\\\\
\n\\quad x=\\dfrac{1}{2}.[\/tex]
\nObserve que os valores [tex]x=\\frac{1}{2}\\,[\/tex] e [tex]\\,y=-1[\/tex] satisfazem, de fato, [tex]\\boxed{x+y=x\\cdot y=\\frac{x}{y}}[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\dfrac{1}{2}-1=-\\dfrac{1}{2}}\\,;\\, \\boxed{\\dfrac{1}{2}\\cdot \\left(-1\\right)=-\\dfrac{1}{2}}\\,;\\,\\boxed{\\dfrac{\\frac{1}{2}}{-1\\,}=-\\dfrac{1}{2}}[\/tex];
\nportanto, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\\dfrac{1}{2}$}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=-1$}\\,[\/tex] s\u00e3o os \u00fanicos n\u00fameros reais cuja soma, o produto e o quociente s\u00e3o iguais entre si.<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\nSejam [tex]x\\,[\/tex] e [tex]\\, y[\/tex] n\u00fameros reais, com [tex]y\\ne 0 [\/tex], tais que [tex]\\boxed{x+y=x\\cdot y=\\frac{x}{y}}\\,.[\/tex]
\nA igualdade [tex]x\\cdot y=\\frac{x}{y}[\/tex] nos permite concluir que, para [tex]x\\ne 0[\/tex], [tex]y^2=1[\/tex], donde obtemos dois poss\u00edveis valores para [tex]y[\/tex]: [tex]y=1[\/tex] e [tex]y=-1\\,.[\/tex]
\nAntes de prosseguirmos na an\u00e1lise desse valores obtidos, observe que substituindo [tex]x= 0[\/tex] na igualdade [tex]x+y=x\\cdot y[\/tex] obtemos que [tex]y=0[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel devido \u00e0 restri\u00e7\u00e3o do problema de que [tex]y\\ne 0 [\/tex]. <\/p>\n