![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
Algumas propriedades dos quadrados perfeitos<\/em><\/strong><\/span><\/span><\/p>\n Os quadrados perfeitos t\u00eam muitas propriedades interessantes, vamos conhec\u00ea-los um pouco mais.<\/span> (1)<\/strong>\u00a0<\/span>A soma dos n<\/em> primeiros n\u00fameros naturais \u00edmpares \u00e9 o n<\/em>-\u00e9simo quadrado perfeito.<\/span><\/p>\n<\/div>\n Em um primeiro momento, tente apenas entender a propriedade, analisando a seguinte sequ\u00eancia: (2)<\/strong>\u00a0<\/span>Um quadrado perfeito n\u00e3o termina em 2, 3, 7 e 8.<\/span><\/p>\n<\/div>\n Neste primeiro estudo tente apenas observar uma boa aplica\u00e7\u00e3o desta propriedade. Por exemplo: (3)<\/strong>\u00a0<\/span>Um quadrado perfeito par \u00e9 sempre divis\u00edvel por 4.<\/span><\/p>\n<\/div>\n Neste momento observe apenas que, com essa propriedade, garantimos, por exemplo, que: (4)<\/strong>\u00a0<\/span>Um quadrado perfeito \u00edmpar quando dividido por 8 deixa resto 1.<\/span><\/p>\n<\/div>\n Pegue uma calculadora e teste alguns exemplos. [tex] \\qquad 11 \\quad 111\\quad 1111\\quad 11111\\quad 111111\\quad 1111111\\quad \\cdots\\quad \\underbrace{ 1111\\cdots1111}_{apenas\\ algarismos\\ 1}\\quad \\cdots [\/tex] Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n \n
\n <\/p>\n
\n[tex]1+3=4=2^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 2 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o segundo quadrado perfeito);
\n[tex]1+3+5=9=3^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 3 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o terceiro quadrado perfeito);
\n[tex] 1+3+5+7=16=4^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 4 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o quarto quadrado perfeito);
\n[tex] 1+3+5+7+9=25=5^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 5 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o quinto quadrado perfeito);
\n[tex] 1+3+5+7+9+11=36=6^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 6 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o sexto quadrado perfeito);
\n[tex] 1+3+5+7+9+11+13=49=7^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 7 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o s\u00e9timo quadrado perfeito);
\n[tex] 1+3+5+7+9+11+13+15=64=8^2\\, \\, \\, [\/tex] (a soma dos 8 primeiros n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 o oitavo quadrado perfeito).
\nUsando esta propriedade podemos concluir, por exemplo, que:
\n[tex]\\qquad \\underbrace{1+3+5+ \\cdots +999}=250\\,000\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad \\underbrace{1+3+5+ \\cdots +9999}=25\\,000\\,000[\/tex].
\na soma dos 500 primeiros n\u00fameros \u00edmpares [tex]\\qquad [\/tex] a soma dos 5000 primeiros n\u00fameros \u00edmpares
\nTente fazer essas somas na sua calculadora e observe como \u00e9 forte essa propriedade!
\n<\/span><\/p>\n
\n●\u00a0<\/strong><\/span> [tex]\\sqrt{5787}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural?
\n●\u00a0<\/strong><\/span> [tex]\\sqrt{14722}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural?
\n●\u00a0<\/strong><\/span> [tex]\\sqrt{8786923}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural?<\/span><\/p>\n
\n●\u00a0<\/strong><\/span> [tex](273904736)^2[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por 4.
\n●\u00a0<\/strong><\/span> [tex](18700394875098756283764878)^2[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por 4.
\nMais uma vez, use sua calculadora para obter os quadrados e depois tente fazer a divis\u00e3o por quatro…
\nTrabalhoso, n\u00e3o \u00e9? Mais um exemplo legal de uma propriedade dos quadrados perfeitos! <\/span><\/p>\n
\nOs exemplos que voc\u00ea conseguiu n\u00e3o garantem que qualquer quadrado perfeito<\/strong> seja um “m\u00faltiplo de 8 mais 1”, mas ajudam voc\u00ea entender a propriedade.
\nUma bela aplica\u00e7\u00e3o dessa propriedade \u00e9 garantirmos que em uma sequ\u00eancia de n\u00fameros naturais que tenham apenas o algarismo 1<\/span><\/p>\n
\n n\u00e3o aparecem quadrados perfeitos.
\nA justificativa dessa afirma\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 trivial, por isso para voc\u00ea se convencer que essa propriedade \u00e9 verdadeira, ter\u00e1 que pensar um pouquinho mais.<\/span><\/p>\n
\n
\n