Problema (a)<\/strong> Determinar os valores de [tex]k[\/tex] para os quais as retas [tex] r [\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o paralelas e, em cada caso, calcular a dist\u00e2ncia entre elas. \n Lembretes <\/p>\n \n (1)<\/strong> <\/span> Ao representarmos uma reta [tex]r[\/tex] em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], podemos associar equa\u00e7\u00f5es a essa reta. Das v\u00e1rias formas de representarmos algebricamente [tex]r[\/tex], duas s\u00e3o mais conhecidas: [tex]ax+by+c=0 \\Leftrightarrow by=-ax-c \\stackrel{\\textcolor{#800000}{b \\ne 0}}{\\Longrightarrow} y=\\underbrace{\\left(-\\dfrac{a}{b}\\right)}_{m}x+\\underbrace{\\left(-\\dfrac{c}{b}\\right)}_{n} \\Longrightarrow \\fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ y=mx+n $}[\/tex].<\/p>\n Particularmente, o coeficiente [tex]m[\/tex] \u00e9 denominado o coeficiente angular e [tex]n[\/tex] \u00e9 o coeficiente linear da reta em quest\u00e3o. Geometricamente:<\/p>\n (2)<\/strong> <\/span> Duas retas n\u00e3o verticais s\u00e3o perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for [tex]-1.[\/tex] \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Se [tex]k=0[\/tex], temos a defini\u00e7\u00e3o das seguintes retas: \n [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] Se [tex]k \\ne -2[\/tex] e [tex]k \\ne 0[\/tex], as retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o verticais e, portanto, ambas t\u00eam equa\u00e7\u00e3o reduzida: \n Neste caso, note que:<\/p>\n [tex]\\qquad r \\parallel s \\iff \\boxed{-\\dfrac{k}{k+2}=-\\dfrac{1}{k}}\\, \\text{ e }\\, \\boxed{-\\dfrac{1}{k}\\ne 1}\\,.[\/tex]<\/p>\n e neste caso [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o paralelas<\/strong>. <\/p>\n e neste caso [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o coincidentes. Como para [tex]k=2[\/tex] as retas [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o paralelas, vamos calcular a dist\u00e2ncia entre essas retas. Observe que, quando [tex]k=2[\/tex], as equa\u00e7\u00f5es gerais de [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o: [tex]\\qquad r \\perp s \\iff \\boxed{\\left(-\\dfrac{k}{k+2}\\right)\\times \\left(-\\dfrac{1}{k}\\right)=-1}\\,.[\/tex] Concluindo:<\/strong> Um applet para ajudar <\/p>\n \n
\n (A partir da 3\u00aa s\u00e9rie do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nSeja [tex]k[\/tex] um n\u00famero real e considere as retas [tex] r [\/tex] e [tex]s[\/tex] assim definidas:<\/p>\n\n
\n(b)<\/strong> Determinar os valores de [tex]k[\/tex] para os quais as retas [tex] r [\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares.\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nEqua\u00e7\u00e3o geral<\/strong>: equa\u00e7\u00e3o do tipo [tex]\\fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ ax+by+c=0$}[\/tex] que \u00e9 satisfeita por todos os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] pertencentes a [tex]r.[\/tex]
\nEqua\u00e7\u00e3o reduzida<\/strong>: equa\u00e7\u00e3o associada \u00e0 reta [tex]r[\/tex] e que \u00e9 obtida da sua equa\u00e7\u00e3o geral, [tex]ax+by+c=0[\/tex], se [tex]b\\ne 0.[\/tex] Relembre:<\/p>\n\n
\n (3)<\/strong> <\/span> Duas retas n\u00e3o verticais s\u00e3o paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares forem iguais e seus coeficientes lineares forem distintos.
\n (4)<\/strong> <\/span> Retas verticais distintas s\u00e3o sempre paralelas entre si.
\n (5)<\/strong> <\/span> Retas horizontais distintas s\u00e3o sempre paralelas entre si.
\n (6)<\/strong> <\/span> Uma reta horizontal e uma vertical s\u00e3o sempre perpendiculares e, portanto, nunca paralelas.
\n (7)<\/strong> <\/span> A dist\u00e2ncia de um ponto [tex]P=\\left(x_0,y_0\\right)[\/tex] \u00e0 reta [tex]r[\/tex] \u00e9 dada a partir da sua equa\u00e7\u00e3o geral:
\n[tex]\\qquad \\qquad d\\left(P,r\\right)=\\dfrac{\\,\\left| ax_0+by_0+c\\right|\\,}{\\sqrt{a^2+b^2}}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n
\nSe as equa\u00e7\u00f5es das retas [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] estiverem na forma reduzida, podemos responder aos dois itens do problema analisando os coeficientes angulares dessas retas. Dessa forma, vamos inicialmente analisar nos itens [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] os casos nos quais pelo menos uma das retas \u00e9 vertical, considerando o plano cartesiano [tex]xOy\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Se [tex]k=-2[\/tex], temos a defini\u00e7\u00e3o das seguintes retas:
\n[tex]\\qquad r: -2x=0[\/tex];
\n[tex]\\qquad s: x-2y=-1[\/tex].
\nNesse caso, [tex]r[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio eixo [tex]Oy[\/tex] e [tex]s[\/tex] tem uma equa\u00e7\u00e3o reduzida.
\n[tex]\\qquad r: x=0[\/tex];
\n[tex]\\qquad s: y=\\dfrac{1}{2}x+\\dfrac{1}{2}[\/tex].
\nAssim, as retas [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o paralelas e nem perpendiculares<\/strong>; ou seja [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o obl\u00edquas.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad r: 2y=2[\/tex];
\n[tex]\\qquad s: x=-1[\/tex].
\nNesse caso, [tex]r[\/tex] \u00e9 uma reta horizontal e [tex]s[\/tex] \u00e9 vertical:
\n[tex]\\qquad r: y=1[\/tex];
\n[tex]\\qquad s: x=-1[\/tex];
\nlogo, as retas [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares<\/strong>.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad r:y=-\\dfrac{k}{k+2}\\,x+1[\/tex];
\n[tex]\\qquad s: y=-\\dfrac{1}{k}\\,x-\\dfrac{1}{k}[\/tex].<\/p>\n\n
\n
\n Para determinar o valor de [tex]k[\/tex] tal que [tex]-\\dfrac{k}{k+2}=-\\dfrac{1}{k}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{k}{k+2}=\\dfrac{1}{k}\\\\
\n\\qquad k^2=k+2\\\\
\n\\qquad k^2-k-2=0\\\\
\n\\qquad k=\\dfrac{1\\pm\\sqrt{1+8}}{2}\\\\
\n\\qquad k=\\dfrac{1\\pm 3}{2}\\\\
\n\\qquad \\boxed{k=2} \\text{ ou } \\boxed{k=-1}\\,.\\\\
\n[\/tex]\n<\/td>\n\nAqui, observe que:<\/p>\n \n
\nDe fato, veja suas equa\u00e7\u00f5es:
\n[tex]\\qquad r:y=x+1[\/tex];
\n[tex]\\qquad s: y=x+1[\/tex].\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n[tex]\\qquad r: 2x+4y-4=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad s: x+2y+1=0[\/tex].
\nPodemos calcular a dist\u00e2ncia entre duas retas paralelas calculando a dist\u00e2ncia de um ponto qualquer de uma delas \u00e0 outra. Assim, tomaremos um ponto de [tex]r[\/tex], por exemplo [tex]P=(0,1)[\/tex], e calcularemos a dist\u00e2ncia de [tex]P[\/tex] a [tex]s[\/tex].
\nVejamos:
\n[tex]\\quad \\begin{align*}d(r,s)=d(P,s)&=\\dfrac{\\left|0+2\\cdot 1+1\\right|}{\\sqrt{1^1+2^2}}\\\\
\n&=\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}\\\\
\n&=\\boxed{\\dfrac{3\\sqrt{5}}{5}}\\,.
\n\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
\nPara determinar o valor de [tex]k[\/tex] tal que [tex]\\left(-\\dfrac{k}{k+2}\\right)\\times \\left(-\\dfrac{1}{k}\\right)=-1[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{\\cancel{k}}{k+2}\\times \\dfrac{1}{\\cancel{k}}=-1\\\\
\n\\qquad \\dfrac{1}{k+2}=-1\\\\
\n\\qquad k+2=-1\\\\
\n\\qquad \\boxed{k=-3}\\,.
\n[\/tex]<\/ul>\n
\n(a)<\/strong> As retas [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o paralelas apenas para [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=2$}\\,.[\/tex]
\nNesse caso, a dist\u00e2ncia entre essas retas \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{3\\sqrt{5}}{5}\\text{ unidades de comprimento}$}\\,.[\/tex]
\n(b)<\/strong> As retas [tex]r\\,[\/tex] e [tex]\\,s[\/tex] s\u00e3o perpendiculares para [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=0$}[\/tex] e para [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=-3$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\nVoc\u00ea pode utilizar o applet abaixo para visualizar as retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] definidas para alguns valores de [tex]k[\/tex]. Particularmente \u00e9 poss\u00edvel visualizar as retas perpendiculares, paralelas e coincidentes detalhadas na solu\u00e7\u00e3o. <\/strong><\/p>\n
\nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
\n(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
\n(2)<\/strong> Movimente o ponto da cor magenta que aparece na parte inferior esquerda da janela do aplicativo. Para cada valor de [tex]\\textcolor{#FF00FF}{k}[\/tex] selecionado voc\u00ea visualizar\u00e1 as retas correspondentes \u00e0s equa\u00e7\u00f5es definidas pelo valor escolhido. Na parte superior direita da janela do aplicativo, voc\u00ea poder\u00e1 visualizar as equa\u00e7\u00f5es.
\n(3)<\/strong> Para movimentar o ponto da cor magenta ([tex]\\textcolor{#FF00FF}{\\bullet}[\/tex]), clique sobre ele com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)<\/p>\n