Problema Adaptado do 6\u00ba Campeonato de Matem\u00e1tica de la Universidad de La Frontera<\/strong>, 2013.<\/p>\n<\/div>\n \n Ajuda <\/p>\n Equa\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia<\/strong><\/p>\n Se, em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], o centro [tex]C[\/tex] de uma circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] de raio [tex]r[\/tex] tem coordenadas [tex](a,b)[\/tex], ent\u00e3o essa circunfer\u00eancia \u00e9 definida algebricamente pela equa\u00e7\u00e3o <\/p>\n Assim, \n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Repetindo o processo de completamento de quadrado para os tr\u00eas outros casos, obteremos mais tr\u00eas circunfer\u00eancias cujas coordenadas [tex](x,y)[\/tex] de seus respectivos pontos s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+y^2=|x|+|y|[\/tex]. Em cada um dos tr\u00eas casos, vamos dar destaque para os pontos que t\u00eam coordenadas inteiras, para concluir a solu\u00e7\u00e3o do problema.<\/p>\n Logo, temos [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\text{infinitos}$}\\,[\/tex]pares ordenados [tex] (x,y)[\/tex] de n\u00fameros reais que satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|[\/tex], de acordo com as an\u00e1lises feitas e com a figura mostrada abaixo. Particularmente temos [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\text{nove}$}\\,[\/tex] desses infinitos pontos com ambas as coordenadas definidas por n\u00fameros inteiros: [tex]\\textcolor{#969696}{(0,0)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(1,0)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(1,1)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(0,1)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(-1,1)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(-1,0)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(-1,-1)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(0,-1)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#969696}{(1,-1)}.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir da 3\u00aa s\u00e9rie do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nQuantos pares ordenados [tex] (x,y)[\/tex], com [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] n\u00fameros reais, satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,\\boxed{\\,x^2+y^2=|x|+|y|\\,}\\,[\/tex]?
\nE se [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] forem inteiros?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
\n [tex]\\qquad \\boxed{P=(x_p,y_p) \\in \\lambda \\iff \\left(x_p-a\\right)^2+\\left(y_p-b\\right)^2 =r^2}[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob475_4.png\")
<\/p>\n
\nSejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] n\u00fameros reais tais que [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|\\,.[\/tex]
\nVamos dividir a nossa discuss\u00e3o em quatro casos: [tex]\\boxed{x \\geqslant 0 \\text{ e } y \\geqslant 0}[\/tex]; [tex]\\boxed{x \\leqslant 0 \\text{ e } y \\leqslant 0}[\/tex]; [tex]\\boxed{x \\geqslant 0 \\text{ e } y \\leqslant 0}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\boxed{x \\leqslant 0 \\text{ e } y \\geqslant 0}\\,.[\/tex] <\/p>\n
\nPara facilitar a an\u00e1lise da express\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=x+y[\/tex], vamos fazer dois processos de completamento de quadrado.
\n(Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse procedimento, d\u00ea uma passadinha nesta Sala de Leitura<\/strong><\/a>.)<\/span>
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob475_12.png\")
Observe:
\n[tex]\\qquad x^2+y^2=x+y\\\\
\n\\qquad \\left(x^2-x\\right)+\\left(y^2-y\\right)=0\\\\
\n\\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2-\\dfrac{1}{4}+\\left(y-\\dfrac{1}{2}\\right)^2-\\dfrac{1}{4}=0\\\\
\n\\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\dfrac{2}{4}\\\\
\n\\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2\\,.[\/tex]
\nAssim, se os n\u00fameros reais n\u00e3o negativos [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|[\/tex], ent\u00e3o o ponto [tex]P=(x,y)[\/tex] \u00e9 ponto da circunfer\u00eancia do plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] com centro no ponto [tex]C=\\left(\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)[\/tex] e raio [tex]r=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}:[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{red}{\\lambda_1: \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2}.[\/tex]<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob475_15.png\")
[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Se [tex]x \\leqslant 0 \\,\\text{ e }\\, y \\leqslant 0[\/tex], ent\u00e3o, da igualdade dada, segue que [tex]\\,x^2+y^2=-x-y\\,.[\/tex] Ap\u00f3s dois processos de completamento de quadrado obtemos a equa\u00e7\u00e3o:
\n[tex] \\qquad \\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y+\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2[\/tex]
\ne, portanto, conclu\u00edmos que os n\u00fameros reais n\u00e3o positivos [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|[\/tex] definem pontos da circunfer\u00eancia do plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] com centro no ponto [tex]C=\\left(-\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)[\/tex] e raio [tex]r=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}:[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#FF00FF}{\\lambda_2: \\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y+\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2}.[\/tex]<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob475_14.png\")
[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] Considerando agora [tex]x \\geqslant 0 \\,\\text{ e }\\, y \\leqslant 0[\/tex], da igualdade dada segue que [tex]\\,x^2+y^2=x-y\\,.[\/tex] Ap\u00f3s mais dois processos de completamento de quadrado obtemos:
\n[tex] \\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y+\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2[\/tex]
\ne, portanto, neste caso, os n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|[\/tex] definem pontos da circunfer\u00eancia do plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] com centro no ponto [tex]C=\\left(\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)[\/tex] e raio [tex]r=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\,:[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#0099FF}{\\lambda_3: \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y+\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2}.[\/tex]<\/p>\n\n
\ncujas coordenadas [tex](x,y)[\/tex] satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|\\,.[\/tex] <\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob475_16.png\")
[tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] Considerando, para terminar as an\u00e1lises, [tex]x \\leqslant 0 \\,\\text{ e }\\, y \\geqslant 0[\/tex], da igualdade do problema segue que [tex]\\,x^2+y^2=-x+y\\,.[\/tex] Ap\u00f3s mais dois processos de completamento de quadrado obtemos:
\n[tex] \\qquad \\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2[\/tex]
\ne, portanto, os n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que neste caso satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,x^2+y^2=|x|+|y|[\/tex] definem pontos da circunfer\u00eancia do plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] com centro no ponto [tex]C=\\left(-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)[\/tex] e raio [tex]r=\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}:[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#009900}{\\lambda_4: \\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2}.[\/tex]<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob475_17.png\")
<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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