Problema \n AJUDA<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span> Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para [tex]k [\/tex] eventos<\/strong>: Se<\/p>\n e todos esses eventos forem independentes entre si (isto \u00e9, a ocorr\u00eancia de um n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a ocorr\u00eancia de outro), ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que os [tex]k[\/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo \u00e9: \n ✏<\/strong> <\/span> Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida:<\/p>\n [tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{ , com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n 2) Sinal com quatro v\u00e9rtices iluminados <\/strong> \n 3) Sinal com cinco v\u00e9rtices iluminados<\/strong> \n 4) Sinal com seis v\u00e9rtices iluminados<\/strong> \n Portanto, o n\u00famero total de sinais transmitidos \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$160+240+192+64=656$}\\,.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Deseja-se transmitir sinais luminosos por meio de um painel que possui seis l\u00e2mpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos v\u00e9rtices de um hex\u00e1gono regular, de tal modo que: a) em cada v\u00e9rtice haja duas l\u00e2mpadas de cores diferentes; b) em cada v\u00e9rtice n\u00e3o haja mais … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nDeseja-se transmitir sinais luminosos por meio de um painel que possui seis l\u00e2mpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos v\u00e9rtices de um hex\u00e1gono regular, de tal modo que:
\na) em cada v\u00e9rtice haja duas l\u00e2mpadas de cores diferentes;
\nb) em cada v\u00e9rtice n\u00e3o haja mais do que uma l\u00e2mpada acesa;
\nc) o n\u00famero m\u00ednimo de v\u00e9rtices iluminados seja tr\u00eas.
\nDetermine o n\u00famero total de sinais que podem ser transmitidos.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n
\n\tConsideremos os seguintes casos que podem ocorrer:
\n1) Sinal com tr\u00eas v\u00e9rtices iluminados<\/strong>
\nPara a defini\u00e7\u00e3o desse sinal, \u00e9 necess\u00e1rio escolher:
\n[tex]\\quad (i)[\/tex] Tr\u00eas v\u00e9rtices, o que pode ser realizado de [tex]C_{6,3}[\/tex] modos;
\n[tex]\\quad (ii)[\/tex] A cor de cada v\u00e9rtice: [tex]2^3[\/tex] modos.
\nAssim, pelo princ\u00edpio multiplicativo, o n\u00famero de sinais com tr\u00eas v\u00e9rtices iluminados \u00e9 [tex]\\boxed{C_{6,3} \\cdot 2^3=160}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nPara a defini\u00e7\u00e3o desse sinal, \u00e9 necess\u00e1rio escolher:
\n[tex]\\quad (i)[\/tex] Quatro v\u00e9rtices para serem iluminados, o que pode ser realizado de [tex]C_{6,4}[\/tex] modos;
\n[tex]\\quad (ii)[\/tex] A cor de cada v\u00e9rtice: [tex]2^4[\/tex] modos.
\nAssim, pelo princ\u00edpio multiplicativo, o n\u00famero de sinais com quatro v\u00e9rtices iluminados \u00e9 [tex]\\boxed{C_{6,4} \\cdot 2^4=240}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nPara a defini\u00e7\u00e3o desse sinal, \u00e9 necess\u00e1rio escolher:
\n[tex]\\quad (i)[\/tex] Cinco v\u00e9rtices para serem iluminados, o que pode ser realizado de [tex]C_{6,5}[\/tex] modos;
\n[tex]\\quad (ii)[\/tex] A cor de cada v\u00e9rtice: [tex]2^5[\/tex] modos.
\nAssim, pelo princ\u00edpio multiplicativo, o n\u00famero de sinais com cinco v\u00e9rtices iluminados \u00e9 [tex]\\boxed{C_{6,5} \\cdot 2^5=192}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nPara a defini\u00e7\u00e3o desse sinal, \u00e9 necess\u00e1rio escolher:
\n[tex]\\quad (i)[\/tex] Seis v\u00e9rtices para serem iluminados, o que pode ser feito de [tex]C_{6,6}[\/tex] modos;
\n[tex]\\quad (ii)[\/tex] A cor de cada v\u00e9rtice: [tex]2^6[\/tex] modos.
\nAssim, pelo princ\u00edpio multiplicativo, o n\u00famero de sinais com seis v\u00e9rtices iluminados \u00e9 [tex]\\boxed{C_{6,6} \\cdot 2^6=64}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n