{"id":166534,"date":"2020-10-20T21:43:44","date_gmt":"2020-10-21T00:43:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=166534"},"modified":"2023-07-24T06:23:18","modified_gmt":"2023-07-24T09:23:18","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-uma-fracao-natural","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-fracao-natural\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma fra\u00e7\u00e3o natural"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nPara quais inteiros positivos [tex]n[\/tex] o n\u00famero [tex]\\boxed{\\,m=\\dfrac{n+17}{n-7}\\,}[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo?<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nObserve, inicialmente, que
\n[tex]\\qquad n+17=n+17+(7-7)=(n-7)+24\\,.[\/tex]
\nAssim, podemos reescrever a fra\u00e7\u00e3o dada no problema como:
\n[tex]\\qquad m=\\dfrac{n+17}{n-7}\\\\
\n\\qquad m=\\dfrac{(n-7)+24}{n-7}\\\\
\n\\qquad m=\\dfrac{(n-7)}{n-7}+\\dfrac{24}{n-7}\\\\
\n\\qquad m=1+\\dfrac{24}{n-7}\\,.[\/tex]
\nDessa forma, para que a fra\u00e7\u00e3o [tex]m[\/tex] seja um n\u00famero inteiro positivo, basta que [tex]n-7[\/tex] seja um divisor positivo de [tex]24\\,.[\/tex]
\nVamos, ent\u00e3o, determinar quais s\u00e3o os divisores positivos de [tex]24\\,.[\/tex] Para isso, faremos a decomposi\u00e7\u00e3o em fatores primos de [tex]24[\/tex] e, a partir dela, determinaremos todos os seus divisores positivos.<\/p>\n\n\n
\n

\n 
\n[tex]\\begin{array}{r|l} 24& 2 \\\\12& 2 \\\\6& 2 \\\\3& 3\\\\1 \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<\/td>\n

\n

[tex]\\begin{array}{c} \\hspace{1.4 cm} \\end{array} \\begin{array}{l} \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{1} \\, \\\\ \\hline \\end{array}[\/tex]
\n[tex] \\begin{array}{r|l} 24& 2 & \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{2}\\\\
\n12& 2 & \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{4}\\\\
\n6& 2& \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{8}\\\\
\n3& 3& \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{3} \\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{6}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{12}\\, \\, \\, \\, \\fcolorbox{black}{#C6E2FF}{24}\\\\
\n1 \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Esses oito divisores nos fornecem os seguintes valores de [tex]n[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c| c| c}
\nn-7 & \\quad n \\quad & \\text{Conferindo…}\\\\
\n\\hline
\n1&8&m=\\dfrac{25}{1}=25\\\\
\n\\hline
\n2&9&m=\\dfrac{26}{2}=13\\\\
\n\\hline
\n4&11&m=\\dfrac{28}{4}=7\\\\
\n\\hline
\n8&15&m=\\dfrac{32}{8}=4\\\\
\n\\hline
\n3&10&m=\\dfrac{27}{3}=9\\\\
\n\\hline
\n6&13&m=\\dfrac{30}{6}=5\\\\
\n\\hline
\n12&19&m=\\dfrac{36}{12}=3\\\\
\n\\hline
\n24&31&m=\\dfrac{48}{24}=2\\\\
\n\\end{array}[\/tex]
\nA segunda coluna da tabela nos mostra os poss\u00edveis inteiros positivos [tex]n[\/tex] para os quais a fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{n+17}{n-7}[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo:<\/p>\n