{"id":166279,"date":"2020-10-20T22:18:18","date_gmt":"2020-10-21T01:18:18","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=166279"},"modified":"2023-07-24T06:20:13","modified_gmt":"2023-07-24T09:20:13","slug":"problemao-troca-de-celulares","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-troca-de-celulares\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Troca de celulares"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:26px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\nBruno viaja com sua esposa e seus tr\u00eas filhos para o Nordeste brasileiro, na inten\u00e7\u00e3o de curtir o feriad\u00e3o. No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refei\u00e7\u00e3o. Todos possuem o mesmo modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos os aparelhos guardados na mochila de um dos filhos. Terminada a refei\u00e7\u00e3o, cada familiar pega ao acaso um aparelho celular na mochila.<br \/>\n<strong>Qual a probabilidade de que nenhum deles pegue o pr\u00f3prio celular?<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto;text-align:justify;margin-left: auto; margin-right: auto;width:600px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:450px;background-color: #FFF5EE;\" >Antes de resolver este problema, seria interessante voc\u00ea passar <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=149015\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><span style=\"color:#800000;\"><strong><em> nesta Sala de Estudo<\/em><\/strong><\/span><\/a> .<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Inicialmente, vamos calcular o n\u00famero total de poss\u00edveis maneiras de se retirar os celulares de dentro da mochila.<\/li>\n<ul>\n<li>Primeira pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]5[\/tex] op\u00e7\u00f5es de retirada;<\/li>\n<li>Segunda pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]4[\/tex] op\u00e7\u00f5es de retirada;<\/li>\n<li>Terceira pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]3[\/tex] op\u00e7\u00f5es de retirada;<\/li>\n<li>Quarta pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]2[\/tex] op\u00e7\u00f5es de retirada e<\/li>\n<li>Quinta pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]1[\/tex] op\u00e7\u00e3o de retirada.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, temos [tex]\\boxed{5\\cdot 4 \\cdot 3\\cdot 2 \\cdot 1=120}\\,[\/tex] modos de retiradas dos celulares de dentro da mochila.<\/p>\n<li>Agora, vamos calcular o n\u00famero de retiradas em que nenhuma pessoa fica com o seu pr\u00f3prio aparelho.<\/li>\n<p>Se voc\u00ea passou na Sala de Estudo que indicamos, fica claro que essa contagem trata-se de uma Permuta\u00e7\u00e3o Ca\u00f3tica (Desarranjo) com [tex]5[\/tex] elementos.<br \/>\nPortanto, nenhuma pessoa fica com seu aparelho em [tex]\\,\\boxed{D_{5}=5!\\cdot\\left[ \\dfrac{1}{0!} &#8211; \\dfrac{1}{1!} + \\dfrac{1}{2!} &#8211; \\dfrac{1}{3!} + \\dfrac{1}{4!} &#8211; \\dfrac{1}{5!}\\right]=44}\\,[\/tex] poss\u00edveis retiradas.<\/ul>\n<p>Como todas as retiradas s\u00e3o igualmente prov\u00e1veis, a probabilidade [tex]P[\/tex] de que nenhum dos cinco pegue o seu pr\u00f3prio celular pode ser calculada utilizando-se a f\u00f3rmula:<br \/>\n[tex]\\,\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad P=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero  de  casos  poss\u00edveis}}\\,.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Assim, neste caso, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=\\dfrac{44}{120}=\\dfrac{11}{30}\\approx 0,37$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Bruno viaja com sua esposa e seus tr\u00eas filhos para o Nordeste brasileiro, na inten\u00e7\u00e3o de curtir o feriad\u00e3o. No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refei\u00e7\u00e3o. Todos possuem o mesmo modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos os aparelhos guardados &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-troca-de-celulares\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-166279","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/166279","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=166279"}],"version-history":[{"count":32,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/166279\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":197829,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/166279\/revisions\/197829"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=166279"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}