{"id":166225,"date":"2020-10-05T13:08:01","date_gmt":"2020-10-05T16:08:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=166225"},"modified":"2023-07-23T03:34:42","modified_gmt":"2023-07-23T06:34:42","slug":"problema-plantacao-de-eucaliptos-em-um-terreno-retangular","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-plantacao-de-eucaliptos-em-um-terreno-retangular\/","title":{"rendered":".Problema: Planta\u00e7\u00e3o de Eucaliptos"},"content":{"rendered":"

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\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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(N\u00fameros e Opera\u00e7\u00f5es<\/strong>, Mar\u00edlia Centurion – Adaptado)<\/span> O dono de um terreno retangular de 36 metros de comprimento por 21 metros de largura deseja cerc\u00e1-lo com eucaliptos plantados com dist\u00e2ncias iguais um do outro, e quer manter, entre os eucaliptos, a maior dist\u00e2ncia poss\u00edvel, medida em um n\u00famero inteiro de metros. Se em cada canto do terreno for plantado um eucalipto, qual ser\u00e1 a dist\u00e2ncia entre eles e quantos eucaliptos ser\u00e3o necess\u00e1rios?<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

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\n

Para resolver este problema deve-se verificar qual \u00e9 o maior n\u00famero inteiro positivo que divide em partes iguais tanto [tex]36[\/tex] como [tex]21[\/tex]. Denotando por [tex]D(n)[\/tex] o conjunto dos divisores positivos do n\u00famero inteiro positivo [tex]n[\/tex], os divisores de [tex]36[\/tex] s\u00e3o os elementos do conjunto
\n[tex]\\qquad D(36) = \\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \\}[\/tex]
\ne, os divisores de [tex]21[\/tex], os elementos de
\n[tex]\\qquad D(21) = \\{1, 3, 7, 21 \\}.[\/tex]
\nAssim, o maior n\u00famero que \u00e9 divisor comum de [tex] 36 [\/tex] e [tex] 21[\/tex] \u00e9 o [tex]3 [\/tex], ou seja, [tex] mdc(36, 21)=3[\/tex]. Observe que esse valor tamb\u00e9m pode ser obtido utilizando-se o Algoritmo de Euclides, conforme apresentado nesta Sala<\/strong><\/a>:<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\begin{array}{r}
\n36\\,\\,\\end{array} \\begin{array}{|r}
\n\\,21\\,\\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\begin{array}{r}
\n15
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\quad 1
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n21\\,\\,\\end{array} \\begin{array}{|r}
\n\\,15\\,\\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n\\,6
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\quad \\,\\, 1
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n15\\,\\,\\end{array} \\begin{array}{|c}
\n\\,6\\,\\,\\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{c}
\n\\, 3\\,
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\quad 2
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n6\\,\\,\\end{array} \\begin{array}{|r}
\n\\,3\\,\\,\\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n0
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\,\\,\\,\\, 2
\n\\end{array}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Portanto, [tex]mdc(36, 21) = mdc(21, 15) = mdc(6, 15) = mdc(6, 3) = 3 [\/tex].
\nComo o maior n\u00famero divisor comum de [tex] 36 [\/tex] e [tex] 21[\/tex] \u00e9 igual a [tex] 3 [\/tex], ent\u00e3o os eucaliptos devem ser plantados a cada [tex]3[\/tex] metros. Vejamos quantos eucaliptos ser\u00e3o necess\u00e1rios: <\/p>\n