Problema Adaptado do 6\u00ba Campeonato de Matem\u00e1tica de la Universidad de La Frontera<\/strong>, 2013.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembretes<\/p>\n \n (1)<\/strong> <\/span> Caso de congru\u00eancia L.L.L. (lado \u2013 lado \u2013 lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes os tr\u00eas lados, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse resultado, clique AQUI<\/strong>.)<\/a><\/span> \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Se voc\u00ea n\u00e3o conseguiu enxergar a afirma\u00e7\u00e3o de que os nove tri\u00e2ngulos s\u00e3o equil\u00e1teros e congruentes<\/em><\/strong>, clique no bot\u00e3o abaixo e veja as justificativas.<\/p>\n \n<\/div>\n<\/div>\n \n Como os nove tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes, de acordo com o Lembrete (2)<\/strong>, as respectivas medidas de suas \u00e1reas s\u00e3o iguais. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nA partir de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex] cuja medida da \u00e1rea \u00e9 [tex]27\\text{ cm}^2[\/tex], tra\u00e7amos tr\u00eas retas, cada uma paralela a um dos lados do tri\u00e2ngulo, de modo que cada lado ficou dividido em tr\u00eas partes iguais.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob472_gif1.gif\")
\nQual a medida da \u00e1rea colorida de azul?<\/strong><\/p>\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob472_1.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n (2)<\/strong> <\/span> Tri\u00e2ngulos congruentes t\u00eam \u00e1reas com a mesma medida.<\/p>\n
\nObserve, inicialmente, que ao tra\u00e7armos os tr\u00eas segmentos tracejados mostrados na figura a seguir, ficam definidos nove tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros congruentes.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s03.png\")
<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s01.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Sabemos que \u00e2ngulos correspondentes definidos a partir de duas retas paralelas s\u00e3o congruentes. Assim, como foram tra\u00e7adas tr\u00eas retas, cada uma paralela a um dos lados do tri\u00e2ngulo, temos as congru\u00eancias de \u00e2ngulos indicadas na pr\u00f3xima figura
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s02.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(3)}[\/tex] Cada um dos segmentos tracejados que definem os tri\u00e2ngulos 1<\/strong>, 3<\/strong>, 5<\/strong>, 6<\/strong>, 8<\/strong> e 9<\/strong>, \u00e9 paralelo a um dos lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex]; assim, temos mais alguns pares de \u00e2ngulos correspondentes definidos a partir de duas retas paralelas e, portanto, congruentes.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s04.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(4)}[\/tex] Observe que as retas [tex]r_1\\,[\/tex] e [tex]\\,r_2[\/tex] s\u00e3o paralelas respectivamente \u00e0s retas suporte dos lados [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex]. Assim, o \u00e2ngulo 2 \u00e9 correspondente aos dois \u00e2ngulos coloridos de verde na figura seguinte e, portanto, os tr\u00eas s\u00e3o congruentes.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s07.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(5)}[\/tex] Agora, observe que as retas [tex]r_3\\,[\/tex] e [tex]\\,r_4[\/tex], definidas por dois dos segmentos tracejados, s\u00e3o paralelas respectivamente \u00e0s retas suporte dos lados [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex]. Assim, o \u00e2ngulo 2 \u00e9 correspondente aos dois novos \u00e2ngulos coloridos de verde na figura seguinte e, portanto, os tr\u00eas s\u00e3o congruentes.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s08.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(6)}[\/tex] Lembre-se de que os \u00e2ngulos [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex] t\u00eam a mesma medida, [tex]60^\\circ[\/tex], eles s\u00f3 foram coloridos com cores diferentes para facilitar a nossa an\u00e1lise. Dessa forma, os tri\u00e2ngulos 1<\/strong>, 2<\/strong>, 4<\/strong>, 5<\/strong> e 9<\/strong> s\u00e3o tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros, j\u00e1 que seus respectivos \u00e2ngulos internos medem [tex]60^\\circ\\,.[\/tex]
\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s09.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(7)}[\/tex] Como tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros t\u00eam lados com mesmo comprimento e os lados do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero inicial [tex]ABC[\/tex] est\u00e3o divididos em tr\u00eas partes com igual comprimento, a pr\u00f3xima figura nos mostra que os tri\u00e2ngulos 1<\/strong>, 2<\/strong>, 4<\/strong>, 5<\/strong> e 9<\/strong> s\u00e3o congruentes, j\u00e1 que tri\u00e2ngulos que t\u00eam os tr\u00eas lados ordenadamente congruentes s\u00e3o congruentes.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s10.png\")
\n[tex] \\textcolor{#800000}{(8)}[\/tex] Veja que, como consequ\u00eancia da congru\u00eancia dos tri\u00e2ngulos 1<\/strong>, 2<\/strong>, 4<\/strong>, 5<\/strong> e 9<\/strong>, podemos concluir que os tri\u00e2ngulos 3<\/strong>, 6<\/strong>, 7<\/strong>, e 8<\/strong> s\u00e3o igualmente congruentes e assim temos que os nove tri\u00e2ngulos obtidos ao tra\u00e7armos os tr\u00eas segmentos tracejados no in\u00edcio da solu\u00e7\u00e3o s\u00e3o, de fato, tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros congruentes.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/prob472_s12.png\")
<\/p>\n
\n(Se voc\u00ea n\u00e3o conhece esse resultado, observe que as alturas dos nove tri\u00e2ngulos t\u00eam o mesmo comprimento, j\u00e1 que essas alturas s\u00e3o segmentos que est\u00e3o entre retas paralelas que se encontram a uma mesma dist\u00e2ncia, e as bases s\u00e3o segmentos cujos comprimentos \u00e9 um ter\u00e7o do comprimento dos lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC\\,.[\/tex])<\/span>
\nAssim, se [tex]S[\/tex] \u00e9 a medida em cent\u00edmetros quadrados da \u00e1rea de cada um dos nove tri\u00e2ngulos, ent\u00e3o [tex]9S=27[\/tex], donde [tex]S=3\\text{ cm}^2\\,.[\/tex]
\nFinalizando, como a \u00e1rea colorida de azul equivale a \u00e1rea de seis dos nove tri\u00e2ngulos congruentes, segue que a \u00e1rea colorida mede [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6 \\times 3=18 \\text{ cm}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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