\n
Problema<\/p>\n
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Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo, denotaremos por [tex]S(n)[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex]. ★<\/span>★<\/span>★\u00a0<\/span><\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n Na resolu\u00e7\u00e3o deste problema, utilizaremos duas conhecidas propriedades sobre restos de uma divis\u00e3o por [tex]3[\/tex]. (*)<\/strong><\/span> Propriedade 1:<\/strong> Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero inteiro positivo e seja [tex]S(n)[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex]. Ent\u00e3o [tex]n[\/tex] e [tex]S(n)[\/tex] deixam o mesmo resto quando divididos por [tex]3[\/tex]. <\/p>\n (*)<\/strong><\/span> Propriedade 2:<\/strong> Se [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c \\, [\/tex] deixam o mesmo resto quando divididos por [tex]3[\/tex], ent\u00e3o [tex]a+b+c \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex]. (*)<\/strong><\/span>Tente justificar as propriedades 1 e 2.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo, denotaremos por [tex]S(n)[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex]. Por exemplo, [tex]S(271)=10~[\/tex] e [tex]~S(12345)=15[\/tex]. Determine [tex]n[\/tex] tal que [tex]n+S(n)+S(S(n))=1993[\/tex]. ★★★\u00a0 Solu\u00e7\u00e3o Na resolu\u00e7\u00e3o deste problema, utilizaremos duas conhecidas propriedades sobre restos de uma divis\u00e3o por [tex]3[\/tex]. (*) Propriedade 1: Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero inteiro positivo e seja … <\/p>\n
\nPor exemplo, [tex]S(271)=10~[\/tex] e [tex]~S(12345)=15[\/tex].
\nDetermine [tex]n[\/tex] tal que [tex]n+S(n)+S(S(n))=1993[\/tex].<\/strong><\/p>\n
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\n <\/p>\n
\nPara voc\u00ea entender melhor, considere a representa\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero [tex]n[\/tex]:
\n[tex]\\;n=\\left(a_ma_{m-1}\\cdots a_2a_1a_0\\right)_{10}\\\\
\n\\; n=a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\\cdots+a_210^2+a_110^1+a_0\\,.[\/tex]
\nO que estamos afirmando \u00e9 que o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]3[\/tex] \u00e9 o mesmo resto da divis\u00e3o de [tex]a_m+a_{m-1}+\\cdots +a_2+a_1+a_0[\/tex] por [tex]3[\/tex].<\/p>\n\n
\n [tex]n \\, \\, [\/tex] <\/td>\n [tex]3[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n [tex]\\qquad a_m+a_{m-1}+\\cdots +a_2+a_1+a_0[\/tex] <\/td>\n [tex]3[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n \n [tex]r[\/tex] <\/td>\n [tex] \\, \\, \\, q_1[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n [tex]r[\/tex] <\/td>\n [tex] \\, \\, \\, q_2[\/tex] <\/td>\n<\/table>\n<\/div>\n
\nVeja as divis\u00f5es:<\/p>\n\n
\n [tex]\\quad a \\, \\, [\/tex] <\/td>\n [tex]3[\/tex] <\/td>\n [tex]\\quad \\, \\, b[\/tex] <\/td>\n [tex]3[\/tex] <\/td>\n [tex]\\quad \\, \\, \\, \\, c[\/tex] <\/td>\n [tex]3[\/tex] <\/td>\n [tex] \\quad \\, \\, \\, \\, \\, \\, a+b+c[\/tex] <\/td>\n [tex]3[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n \n [tex]\\quad r[\/tex] <\/td>\n [tex]q_1[\/tex] <\/td>\n [tex]\\quad r[\/tex] <\/td>\n [tex]q_2[\/tex] <\/td>\n [tex] \\quad \\, \\, \\, \\, r[\/tex] <\/td>\n [tex]q_3[\/tex] <\/td>\n [tex]\\quad 0[\/tex] <\/td>\n [tex]q_4[\/tex] <\/td>\n<\/table>\n<\/div>\n
\nCom base na Propriedade 1<\/strong>, se [tex]n[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo, ent\u00e3o o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]3[\/tex] \u00e9 igual ao resto da divis\u00e3o de [tex]S(n)[\/tex] por [tex]3[\/tex]; e, tamb\u00e9m, o resto da divis\u00e3o de [tex]S(n)[\/tex] por [tex]3[\/tex] \u00e9 igual ao resto da divis\u00e3o de [tex]S(S(n))[\/tex] por [tex]3[\/tex].
\nAssim, o resto da divis\u00e3o dos n\u00fameros [tex]n[\/tex], [tex]S(n)\\;[\/tex] e [tex]\\;S(S(n))[\/tex] por [tex]3[\/tex] \u00e9 o mesmo e, portanto, pela Propriedade 2<\/strong>, a soma [tex]n+S(n)+S(S(n))[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex].
\nComo [tex]1993[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex], n\u00e3o existe um n\u00famero inteiro positivo [tex]n[\/tex] tal que [tex]\\fbox{$n+S(n)+S(S(n))=1993$}[\/tex].<\/span><\/p>\n
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