Problema Veja o M\u00e9todo, exemplificado para a multiplica\u00e7\u00e3o [tex]42 \\times 48[\/tex].<\/p>\n \n M\u00e9todo<\/strong><\/p>\n [tex]\\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{2} \\times \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{8}=???[\/tex]<\/p>\n Passo 0 – <\/strong> Verificar as condi\u00e7\u00f5es de aplicabilidade do M\u00e9todo. \n Passo 1 –<\/strong> O resultado \u00e9 um n\u00famero de tr\u00eas ou quatro algarismos, ent\u00e3o j\u00e1 deixe quatro tracinhos em branco, preparados para receber os d\u00edgitos do produto final. \n Passo 2 – <\/strong>Nos dois \u00faltimos tracinhos, escreva o produto dos \u00faltimos algarismos dos dois n\u00fameros (d\u00edgitos azuis). Se os algarismos forem [tex]1[\/tex] e [tex]9[\/tex], os tracinhos devem ser completados com [tex]09\\,.[\/tex]<\/span> \n Passo 3 –<\/strong> Nos dois primeiros tracinhos, escreva o produto entre o algarismo comum aos dois n\u00fameros (d\u00edgito vermelho) e o seu sucessor. \n Resultado:<\/strong> [tex]\\boxed{42 \\times 48=2016}[\/tex].<\/span><\/p>\n \n Tente explicar porque o resultado deste m\u00e9todo coincide com o resultado final do m\u00e9todo que voc\u00ea est\u00e1 habituado a utilizar.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nExistem algumas t\u00e9cnicas de se fazer multiplica\u00e7\u00f5es bem rapidinho…
\nUma delas pode ser utilizada quando vamos multiplicar dois n\u00fameros com dois algarismos cada tais que:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad\\textcolor{red}{4=4\\;}[\/tex] e [tex]\\;\\textcolor{blue}{8+2=10}[\/tex]<\/span><\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{2} \\times \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{8}=\\underline{\\quad}\\;\\underline{\\quad}\\;\\underline{\\quad}\\;\\underline{\\quad}[\/tex]<\/span><\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{2} \\times \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{8}=\\underline{\\quad}\\;\\underline{\\quad}\\;\\underbrace{\\underline{1}\\;\\underline{6}}_{2\\times 8}[\/tex]<\/span><\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{2} \\times \\textcolor{red}{4}\\textcolor{blue}{8}=\\underbrace{\\underline{2}\\;\\underline{0}}_{4\\times 5}\\;\\underline{1}\\;\\underline{6}[\/tex]<\/span><\/p>\n
\nVamos supor que os n\u00fameros [tex]x\\,[\/tex] e [tex]\\, y[\/tex] a serem multiplicados sejam escritos na forma decimal como [tex]x=ab\\,[\/tex] e [tex]\\,y=ac[\/tex]; assim, como a soma dos algarismos das unidades \u00e9 [tex]10[\/tex], temos [tex]\\boxed{b+c=10}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c }
\n&a&b&\\\\
\n\\times&a&c\\\\
\n\\hline
\n&?&\\\\
\n\\end{array}[\/tex]
\nObserve que [tex]\\boxed{x=a\\cdot 10+b}\\,[\/tex] e [tex]\\, \\boxed{y=a\\cdot 10+c}[\/tex]; portanto, fazendo o produto de [tex]x\\,[\/tex] por [tex]\\, y[\/tex] temos que:
\n[tex]\\begin{align*}
\n\\qquad x\\cdot y&=(a\\cdot 10+b)\\cdot (a\\cdot 10+c)\\\\
\n&=a^2\\cdot 100+a\\cdot 10 \\cdot c+b \\cdot a \\cdot 10+b\\cdot c\\\\
\n&=a^2\\cdot 100+(a\\cdot 10 )\\cdot c+ (a \\cdot 10) \\cdot b +b\\cdot c\\\\
\n&=a^2\\cdot 100+(a\\cdot 10 )\\cdot (c+ b) +b\\cdot c\\\\
\n&=a^2\\cdot 100+(a\\cdot 10 )\\cdot 10+b\\cdot c\\\\
\n&=a^2\\cdot 100+a\\cdot 100+b\\cdot c\\\\
\n&=a\\cdot 100\\cdot (a+1)+b\\cdot c\\\\
\n&=a \\cdot (a+1)\\cdot 100+b\\cdot c\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}
\n\\end{align*}[\/tex]
\nAgora, vamos tamb\u00e9m escrever os produtos [tex]a \\cdot (a+1)\\,[\/tex] e [tex]\\,b\\cdot c[\/tex] na forma decimal. Assim, se [tex]a \\cdot (a+1)=mn\\,[\/tex] e [tex]\\,b\\cdot c=tz[\/tex], segue que [tex]\\boxed{a \\cdot (a+1)=m\\cdot 10+n}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\boxed{b\\cdot c=t\\cdot 10+z}[\/tex], donde segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que:
\n[tex]\\begin{align*}
\n\\qquad x\\cdot y&=a \\cdot (a+1)\\cdot 100+b\\cdot c\\\\
\n&=(m\\cdot 10+n)\\cdot 100+(t\\cdot 10+z)\\\\
\n&=m\\cdot 1000+n\\cdot 100+t\\cdot 10+z\\\\
\n\\end{align*}[\/tex]
\ne, com isso, temos a representa\u00e7\u00e3o decimal do produto [tex]x\\cdot y[\/tex]:
\n[tex]\\qquad x\\cdot y= \\underbrace{m\\,\\,\\,n}_{a \\cdot (a+1)}\\,\\underbrace{t\\,\\,\\,z}_{b\\cdot c}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a\\,b\\cdot a\\,c= \\underbrace{m\\,\\,\\,n}_{a \\cdot (a+1)}\\,\\underbrace{t\\,\\,\\,z}_{b\\cdot c}\\,.[\/tex]
\nPortanto, de fato, os dois primeiros algarismos do produto [tex]ab\\cdot ac[\/tex] s\u00e3o os dois algarismos de [tex]\\boxed{a \\cdot (a+1)}[\/tex] e os dois \u00faltimos s\u00e3o os algarismos de [tex]\\boxed{b\\cdot c}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c c }
\n&&a&b&\\\\
\n&\\times&a&c\\\\
\n\\hline
\nm&n&t&z\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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