{"id":165065,"date":"2020-10-21T12:20:22","date_gmt":"2020-10-21T15:20:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=165065"},"modified":"2024-09-29T01:02:08","modified_gmt":"2024-09-29T04:02:08","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-quem-esta-correta","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-quem-esta-correta\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Quem est\u00e1 correta?"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (A partir do 2\u00ba ano do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nAna, Beatriz e Cec\u00edlia estavam estudando juntas e encontraram o seguinte problema formulado pelo professor delas, mestre PC:
\nQual \u00e9 a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lan\u00e7ar dois dados equilibrados e id\u00eanticos seja [tex]7[\/tex]?<\/strong><\/span>
\n\u2022 Ana analisa a situa\u00e7\u00e3o e diz<\/strong>:
\n– H\u00e1 [tex]36[\/tex] casos poss\u00edveis para os resultados, dos quais [tex]6[\/tex] s\u00e3o favor\u00e1veis. Logo, a probabilidade de dar a soma [tex]7[\/tex] \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{6}[\/tex]<\/em>.
\n\u2022 Beatriz discorda<\/strong>:
\n– Ana, como os dados s\u00e3o id\u00eanticos, n\u00e3o faz sentido distinguir os resultados [tex](1, 2)[\/tex] e [tex](2, 1)[\/tex], por exemplo. Logo, h\u00e1 apenas [tex]21[\/tex] casos poss\u00edveis, dos quais [tex]3[\/tex] s\u00e3o favor\u00e1veis. A probabilidade de dar soma [tex]7[\/tex] \u00e9, portanto, [tex]\\dfrac{1}{7}[\/tex].<\/em>
\n\u2022 Cec\u00edlia discorda de ambas<\/strong>:
\n– Voc\u00eas duas est\u00e3o complicando a situa\u00e7\u00e3o sem necessidade…
\n H\u00e1 [tex]11[\/tex] somas poss\u00edveis (de [tex]2[\/tex] a [tex]12[\/tex]). Assim, a probabilidade de dar soma [tex]7[\/tex] \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{11}[\/tex]<\/em>.<\/p>\n

\n\"\"Imagem extra\u00edda de Freepik<\/a><\/p>\n

Qual das tr\u00eas est\u00e1 certa?<\/strong><\/p>\n

Adaptado do PAPMEM<\/strong>, 2019.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Lembrete:<\/strong> <\/p>\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel \u00e9 calculada por:<\/p>\n\n\n\n
Probabilidade[tex]\\;\\;[\/tex] = <\/strong><\/td>\n n\u00famero de casos favor\u00e1veis<\/strong> <\/td>\n.<\/td>\n<\/tr>\n
n\u00famero de casos poss\u00edveis<\/strong> <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n►<\/span> Vamos inicialmente acompanhar o racioc\u00ednio da Cec\u00edlia.<\/p>\n

\u00c9 claro que podemos definir o espa\u00e7o amostral do experimento de "lan\u00e7ar dois dados equilibrados e id\u00eanticos e somar os pontos da duas faces voltadas para cima" como [tex]\\Omega_1=\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\\}[\/tex], j\u00e1 que n\u00e3o estamos interessados nos n\u00fameros propriamente ditos que aparecem nas duas faces e sim nas suas somas. O problema \u00e9 que esse espa\u00e7o n\u00e3o \u00e9 equiprov\u00e1vel<\/strong>!
\nObserve que temos apenas uma maneira de obtermos soma [tex]2[\/tex], saindo [tex]1[\/tex] nos dois dados, e mais de uma maneira de obtermos soma [tex]5[\/tex], saindo "[tex]1[\/tex] e [tex]4[\/tex]" e "[tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex]", entre outras possibilidades. Com isso, [tex]P(\\{2\\})\\ne P(\\{5\\})[\/tex] e [tex]\\Omega_1[\/tex] n\u00e3o \u00e9 equiprov\u00e1vel. Dessa forma, n\u00e3o podemos utilizar a raz\u00e3o entre "casos favor\u00e1veis" e "casos poss\u00edveis" e, portanto, Cec\u00edlia n\u00e3o est\u00e1 certa<\/strong>.<\/p>\n

►<\/span> Vamos agora acompanhar o racioc\u00ednio da Beatriz.<\/p>\n

O espa\u00e7o amostral definido pela Beatriz pode ser obtido a partir das poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es de resultados dos n\u00fameros mostrados nas duas faces voltadas para cima dos dados lan\u00e7ados.<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\\\
\n\\hline
\n1&1\\text{ e }1&1\\text{ e }2&1\\text{ e }3&1\\text{ e }4&1\\text{ e }5&1\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n2&\\xcancel{2\\text{ e }1}&2\\text{ e }2&2\\text{ e }3&2\\text{ e }4&2\\text{ e }5&2\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n3&\\xcancel{3\\text{ e }1}&\\xcancel{3\\text{ e }2}&3\\text{ e }3&3\\text{ e }4&3\\text{ e }5&3\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n4&\\xcancel{4\\text{ e }1}&\\xcancel{4\\text{ e }2}&\\xcancel{4\\text{ e }3}&4\\text{ e }4&4\\text{ e }5&4\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n5&\\xcancel{5\\text{ e }1}&\\xcancel{5\\text{ e }2}&\\xcancel{5\\text{ e }3}&\\xcancel{5\\text{ e }4}&5\\text{ e }5&5\\text{ e }6\\\\
\n\\hline\\
\n6&\\xcancel{6\\text{ e }1}&\\xcancel{6\\text{ e }2}&\\xcancel{6\\text{ e }3}&\\xcancel{6\\text{ e }4}&\\xcancel{6\\text{ e }5}&6\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\\\
\n\\hline
\n1&1\\text{ e }1&1\\text{ e }2&1\\text{ e }3&1\\text{ e }4&1\\text{ e }5&1\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n2&&2\\text{ e }2&2\\text{ e }3&2\\text{ e }4&2\\text{ e }5&2\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n3&&&3\\text{ e }3&3\\text{ e }4&3\\text{ e }5&3\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n4&&&&4\\text{ e }4&4\\text{ e }5&4\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n5&&&&&5\\text{ e }5&5\\text{ e }6\\\\
\n\\hline\\
\n6&&&&&&6\\text{ e }6\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\nTemos, de fato, [tex]21[\/tex] casos poss\u00edveis, mas o espa\u00e7o amostral da Beatriz n\u00e3o \u00e9 equiprov\u00e1vel!
\nObserve que a hip\u00f3tese de que os dois dados s\u00e3o equilibrados nos garante que o experimento em quest\u00e3o \u00e9 aleat\u00f3rio, ou seja, nenhuma das faces tem mais chance de sair em um ou em outro dado. Por outro lado, o fato de os dados serem id\u00eanticos, ou terem cores diferentes, ou um deles ter uma marquinha em uma de suas faces vai alterar o experimento e as maneiras de obtermos soma [tex]7[\/tex]? N\u00c3O<\/strong>!
\nAssim, por exemplo,
\n▬ temos apenas uma maneira de obtermos [tex] 1 \\text{ e }1[\/tex]: [tex]1[\/tex] no primeiro dado e [tex]1[\/tex] no segundo dado;
\n▬ mas temos duas maneiras de obtermos [tex] 1 \\text{ e }2[\/tex]: [tex]1[\/tex] no primeiro e [tex]2[\/tex] no segundo dado e [tex]2[\/tex] no primeiro e [tex]1[\/tex] no segundo dado. (Pense em um dos dados com uma marquinha; s\u00e3o situa\u00e7\u00f5es diferentes que ocorrem: [tex]1[\/tex] no dado com marquinha e [tex]2[\/tex] no outro dado e [tex]2[\/tex] no dado com marquinha e [tex]1[\/tex] no outro.)<\/span>
\nAssim, Beatriz tamb\u00e9m n\u00e3o est\u00e1 certa<\/strong>.<\/p>\n

►<\/span> Vamos agora acompanhar o racioc\u00ednio da Ana:<\/p>\n

\nPodemos definir o espa\u00e7o amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es de resultados dos n\u00fameros mostrados nas duas faces voltadas para cima.<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\\\
\n\\hline
\n1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\\
\n\\hline
\n2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\\
\n\\hline
\n3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\\
\n\\hline
\n4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\\
\n\\hline
\n5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\\
\n\\hline
\n6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

\nObservamos com a tabela que temos [tex]36[\/tex] pares ordenados poss\u00edveis de n\u00fameros mostrados nas faces voltadas para cima de cada dado e podemos considerar para o experimento o espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega_2=\\{(1,1);(1,2); (1,3); \\ldots ;(6,4); (6,5);(6,6)\\}[\/tex]. Neste caso, [tex]n\\left(\\Omega_2\\right)=36\\,[\/tex] e [tex]\\;\\Omega_2[\/tex] \u00e9 equiprov\u00e1vel, j\u00e1 que os dados s\u00e3o equilibrados.
\nUtilizando a tabela, vemos que as situa\u00e7\u00f5es favor\u00e1veis a obter soma [tex]7[\/tex] s\u00e3o:
\n[tex]\\qquad (1,6)[\/tex], [tex](2,5)[\/tex], [tex](3,4)[\/tex], [tex](4,3)[\/tex], [tex](5,2)[\/tex] e [tex](6,1)[\/tex].
\nConsequentemente a probabilidade do evento em quest\u00e3o \u00e9:
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(\\{7\\})=\\dfrac{6}{36}=\\dfrac{1}{6}$}\\\\
\n\\,[\/tex]
\ne, portanto, Ana est\u00e1 correta<\/strong>!<\/p>\n

\n
\n
\n <\/p>\n
\n

Um applet para ajudar <\/p>\n

\n

\n

Voc\u00ea pode utilizar o applet abaixo para se divertir e para ajudar a decidir qual das tr\u00eas colegas est\u00e1 certa!
\n\u00c9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o Lan\u00e7ar os dados<\/strong>, quantas vezes voc\u00ea quiser.
\nFa\u00e7a uma tabelinha e anote as somas obtidas em cada lan\u00e7amento dos dados.
\n Mas lembre-se de que, para usar a maneira dita frequentista (repetindo o experimento aleat\u00f3rio muitas vezes e anotando a frequ\u00eancia com que o evento ocorre) para se estimar a probabilidade de um evento, o n\u00famero de experimenta\u00e7\u00f5es deve ser repetido por muuuuuitas vezes.
\nDe toda forma, Boa Divers\u00e3o!<\/span><\/p>\n

\n