Problema \n Ajuda<\/p>\n \nPrinc\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para quatro eventos<\/strong>:<\/p>\n e todos esses eventos forem independentes entre si (isto \u00e9, a ocorr\u00eancia de um n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a ocorr\u00eancia de outro), ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que os quatro eventos ocorrem ao mesmo tempo \u00e9 \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Portanto, a soma de todos os elementos de [tex]S[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$384\\times 1000+ 288\\times 100+288\\times 10+288 = 415\\;968$}\\,.[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Seja [tex]S[\/tex] o conjunto dos n\u00fameros de quatro d\u00edgitos formados pelos algarismos [tex]0, 1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex]. Qual a soma de todos os elementos de [tex]S[\/tex]? Ajuda Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para quatro eventos: Se um evento E1 puder ocorrer de [tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nSeja [tex]S[\/tex] o conjunto dos n\u00fameros de quatro d\u00edgitos formados pelos algarismos [tex]0, 1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex].
\nQual a soma de todos os elementos de [tex]S[\/tex]?<\/strong>\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
Se \t<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times m_3 \\times m_4} \\,.[\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<\/div>\n
\nDado um elemento qualquer de [tex]S[\/tex], o primeiro d\u00edgito pode ser qualquer um dos tr\u00eas algarismos [tex]1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex], e cada um dos tr\u00eas d\u00edgitos restantes pode ser qualquer um dos quatro algarismos [tex]0, 1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex]. Assim, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>, o total de elementos de [tex]S[\/tex] \u00e9 [tex]3\\times 4\\times 4\\times 4 =192[\/tex] elementos.
\nAgora, observe que o total de n\u00fameros em que o [tex]0[\/tex] aparece na unidade \u00e9 igual ao total de n\u00fameros em que o [tex]1[\/tex] aparece, bem como o [tex]2[\/tex] e o [tex]3[\/tex]. O mesmo acontecendo com a quantidade de vezes que cada um aparece na casa das dezenas e na casa das centenas. Ou seja, cada um dos algarismos [tex]0, 1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex] aparece na casa das unidades em [tex]\\dfrac{192}{4}= 48[\/tex] n\u00fameros. Analogamente, cada um dos algarismos [tex]0, 1, 2[\/tex] e [tex]3[\/tex] aparece na casa das dezenas em [tex]48[\/tex] n\u00fameros e na casa das centenas tamb\u00e9m em [tex]48[\/tex] n\u00fameros.
\nMas, o total de n\u00fameros em que o [tex]1[\/tex], o [tex]2[\/tex] e o [tex]3[\/tex] aparece na unidade de milhar \u00e9 de [tex]\\dfrac{192}{3}= 64[\/tex] n\u00fameros, pois nenhum dos n\u00fameros pode come\u00e7ar com [tex]0[\/tex].
\nDessa forma, se dispormos todos os [tex]192[\/tex] n\u00fameros numa lista para som\u00e1-los, perceba que:<\/p>\n\n
\nObserve o esquema abaixo que mostra o algoritmo da adi\u00e7\u00e3o efetuada.
\n[tex]\\,\\\\
\n\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c c c c c}
\n&&\\textcolor{#FF00FF}{31} &\\textcolor{blue}{31} & \\textcolor{red}{28} & \\\\
\n&&1 & 0 & 0 & 0\\\\
\n&&1 & 0 & 0 & 1\\\\
\n&&1 & 0 & 0 & 2&+\\\\
\n&& \\vdots&\\vdots &\\vdots & \\vdots&\\\\
\n&&3 & 3 & 3 & 3\\\\
\n\\hline
\n\\textcolor{#68BE4A}{4}&\\textcolor{#68BE4A}{1}&\\textcolor{#54AA36}{5} & \\textcolor{#FF00FF}{9} & \\textcolor{blue}{6} & \\textcolor{red}{8}\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n