{"id":164831,"date":"2020-10-05T08:36:16","date_gmt":"2020-10-05T11:36:16","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=164831"},"modified":"2023-07-23T03:35:41","modified_gmt":"2023-07-23T06:35:41","slug":"problemao-volume-complicado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-volume-complicado\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Volume complicado"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nSeja [tex]ABCDEF[\/tex] um hex\u00e1gono regular inscrito numa circunfer\u00eancia de centro [tex]O[\/tex] e raio [tex]6[\/tex] cm.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Considere a regi\u00e3o interior \u00e0 circunfer\u00eancia e exterior ao hex\u00e1gono. Determine o volume do s\u00f3lido gerado pela rota\u00e7\u00e3o completa dessa regi\u00e3o em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]D[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n<\/div>\n

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\n

Lembretes:<\/strong> <\/p>\n

\"explicador_p\" I)<\/strong><\/span> Volume do cilindro de revolu\u00e7\u00e3o de raio da base [tex]r[\/tex] e altura [tex]h[\/tex]: [tex]\\boxed{V_{Cilindro}=\\pi \\cdot r^{2}\\cdot h}\\,.[\/tex]
\n II)<\/strong><\/span> Volume do cone de revolu\u00e7\u00e3o de raio da base [tex]r[\/tex] e altura [tex]h[\/tex]: [tex]\\boxed{V_{Cone}=\\dfrac{1}{3}\\cdot\\pi \\cdot r^{2}\\cdot h}\\,.[\/tex]
\n III)<\/strong><\/span> Volume da esfera de raio [tex]r[\/tex]: [tex]\\boxed{V_{Esfera}=\\dfrac{4}{3}\\pi \\cdot r^{3}}\\,.[\/tex]
\n IV)<\/strong><\/span> Um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lado medindo [tex]l[\/tex] tem altura dada por [tex]h = \\dfrac{l\\sqrt{3}}{2}\\,.[\/tex]
\n\"\"
\n V)<\/strong><\/span> Dado um hex\u00e1gono regular de lado medindo [tex]l[\/tex] este pode ser dividido em [tex]6[\/tex] tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros de lado medindo [tex]l[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nObserve que a rota\u00e7\u00e3o do hex\u00e1gono produz dois cones (de v\u00e9rtices [tex]A[\/tex] e [tex]D[\/tex]) e um cilindro central.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Assim, o volume do s\u00f3lido gerado pela rota\u00e7\u00e3o da regi\u00e3o colorida de azul em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]D[\/tex] \u00e9 o volume de uma esfera de raio [tex]6[\/tex] cm menos o volume dos tr\u00eas s\u00f3lidos mostrados acima. As medidas necess\u00e1rias para os c\u00e1lculos s\u00e3o mostradas na figura a seguir. Utilizamos as informa\u00e7\u00f5es dos lembretes IV e V para obt\u00ea-las, al\u00e9m de lembrarmos que a altura de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero \u00e9 tamb\u00e9m sua mediana.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Vamos aos c\u00e1lculos:
\n[tex]\\qquad V_{s\u00f3lido\\;gerado}=V_{Esfera}-V_{Cilindro}-2 \\cdot V_{Cone}\\\\
\n\\qquad V_{s\u00f3lido\\;gerado}=\\dfrac{4}{3}\\cdot\\pi\\cdot 6^{3}- \\pi \\cdot(3\\sqrt{3})^{2}\\cdot6 – 2\\cdot\\dfrac{1}{3}\\cdot\\pi\\cdot(3\\sqrt{3})^{2}\\cdot 3\\\\
\n\\qquad V_{s\u00f3lido\\;gerado}=288 \\pi -162 \\pi -54 \\pi\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$V_{s\u00f3lido\\;gerado}=72\\pi \\text{ cm}^{3}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Seja [tex]ABCDEF[\/tex] um hex\u00e1gono regular inscrito numa circunfer\u00eancia de centro [tex]O[\/tex] e raio [tex]6[\/tex] cm. Considere a regi\u00e3o interior \u00e0 circunfer\u00eancia e exterior ao hex\u00e1gono. Determine o volume do s\u00f3lido gerado pela rota\u00e7\u00e3o completa dessa regi\u00e3o em torno do eixo que passa pelos pontos [tex]A[\/tex] … <\/p>\n

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