{"id":164736,"date":"2020-10-05T11:32:49","date_gmt":"2020-10-05T14:32:49","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=164736"},"modified":"2023-07-23T03:35:14","modified_gmt":"2023-07-23T06:35:14","slug":"problemao-um-lindo-produto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-um-lindo-produto\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Um lindo produto"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n Sendo [tex]a[\/tex] um n\u00famero real tal que [tex]a\\ne 0[\/tex] e [tex]a\\ne 1[\/tex], mostre que o produto
\n[tex]\\qquad \\left(1+\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)[\/tex]
\nresulta em
\n[tex]\\qquad \\dfrac{ 1-\\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\\dfrac{1}{a}}\\,[\/tex].<\/p>\n

Adaptado de The Art and Craft of Problem Solving<\/strong>– Paul Zeitz.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

\n

✐ <\/span> Fatora\u00e7\u00e3o da diferen\u00e7a de dois quadrados\/ Produto da soma pela diferen\u00e7a:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m^2-n^2=(m+n) \\cdot (m-n)}[\/tex], para todos [tex]m,n\\in\\mathbb{R}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n(Para aprender um pouco mais, clique AQUI<\/a><\/strong>.)<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSeja [tex]P=\\left(1+\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)\\,.\\\\
\n\\,[\/tex]
\n►<\/span> Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por [tex]\\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right)[\/tex], obtemos
\n[tex]\\quad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P=\\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n

\n

►<\/span> Aplicando a identidade do produto da soma pela diferen\u00e7a no produto dos dois primeiros termos da igualdade [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\quad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P=\\left[\\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a}\\right)\\right] \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)\\\\
\n\\quad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P=\\left(1-\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\n►<\/span> Aplicando novamente a identidade do produto da soma pela diferen\u00e7a agora no produto dos dois primeiros termos da igualdade [tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\quad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P=\\left[\\left(1-\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right)\\right] \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)\\\\
\n\\quad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P=\\left(1-\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nObserve que, a cada aplica\u00e7\u00e3o da identidade do produto da soma pela diferen\u00e7a, o n\u00famero de fatores do produto que aparece \u00e0 direita da igualdade inicial vai diminuindo.
\n ►<\/span> Assim, seguindo o mesmo racioc\u00ednio sucessivamente, podemos chegar a
\n[tex]\\qquad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P= \\left(1-\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)[\/tex].
\n ►<\/span> Aplicando uma \u00faltima vez a identidade do produto da soma pela diferen\u00e7a, obtemos:
\n[tex]\\qquad \\left(1-\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot P= \\left(1-\\dfrac{1}{a^{2^{101}}}\\right)\\\\
\n\\,[\/tex]
\ndonde conclui-se que:
\n[tex]\\qquad P= \\dfrac{ 1-\\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\\dfrac{1}{a}}[\/tex].
\nPortanto, [tex]\\boxed{ \\left(1+\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)= \\dfrac{ 1-\\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\\dfrac{1}{a}}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Sendo [tex]a[\/tex] um n\u00famero real tal que [tex]a\\ne 0[\/tex] e [tex]a\\ne 1[\/tex], mostre que o produto [tex]\\qquad \\left(1+\\dfrac{1}{a}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^2}\\right) \\cdot \\left(1+\\dfrac{1}{a^4}\\right) \\cdots \\left(1+\\dfrac{1}{a^{2^{100}}}\\right)[\/tex] resulta em [tex]\\qquad \\dfrac{ 1-\\dfrac{1}{a^{2^{101}}}}{1-\\dfrac{1}{a}}\\,[\/tex]. Adaptado de The Art and Craft of Problem Solving– Paul Zeitz. Lembretes ✐ Fatora\u00e7\u00e3o da diferen\u00e7a … <\/p>\n

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