Problema Observando as fitas, cinco amigos fizeram as seguintes observa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n Qual amigo est\u00e1 correto?<\/strong><\/p>\n Adaptado da EUROPEAN \u2018KANGAROO\u2019 MATHEMATICAL CHALLENGE \u2018PINK\u2019<\/strong> – 2003.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembrete<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span>A \u00e1rea de um paralelogramo pode ser calculada pelo produto da medida de sua base pela medida de sua altura.\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n As fitas vermelha e azul s\u00e3o paralelogramos de base [tex]a[\/tex] e altura [tex]b+c[\/tex] (lembre-se, um ret\u00e2ngulo \u00e9 um caso especial de paralelogramo!). Logo, suas \u00e1reas s\u00e3o ambas iguais a [tex]a\\cdot(b+c)[\/tex]. Assim:<\/p>\n Perceba que a fita cinza ficou dividida em dois paralelogramos de base [tex]a[\/tex] e alturas [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex], respectivamente. Logo, sua \u00e1rea \u00e9 dada pela soma das \u00e1reas desses paralelogramos, ou seja, tamb\u00e9m vale [tex]a\\cdot b+a\\cdot c[\/tex] e assim<\/p>\n Dessa forma, Susane estava correta<\/strong>: Todas as fitas t\u00eam a mesma \u00e1rea e os quatro primeiros amigos se confundiram.<\/p>\n Na solu\u00e7\u00e3o, ao tra\u00e7armos a terceira paralela, quando afirmamos que dividir\u00edamos a fita cinza em dois paralelogramos, est\u00e1vamos supondo implicitamente que [tex]\\overline{FC}[\/tex] \u00e9 um segmento paralelo aos segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{ED}[\/tex]. Temos certeza disso? O enunciado garante que as tr\u00eas fitas t\u00eam a mesma largura horizontal constante [tex]a[\/tex]<\/strong>. Ent\u00e3o, “entre um cotovelo e outro”, os lados da fita cinza s\u00e3o paralelos! De fato, esta \u00e9 uma das caracter\u00edsticas exclusivas das retas paralelas: a dist\u00e2ncia entre elas \u00e9 sempre a mesma. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) As tr\u00eas fitas que aparecem na figura t\u00eam uma mesma largura horizontal constante [tex]a[\/tex]. Essas tr\u00eas fitas conectam duas linhas paralelas. Observando as fitas, cinco amigos fizeram as seguintes observa\u00e7\u00f5es: Andr\u00e9: \u00c9 imposs\u00edvel saber qual fita tem maior \u00e1rea sem conhecer a medida [tex]a[\/tex]; Andreia: … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nAs tr\u00eas fitas que aparecem na figura t\u00eam uma mesma largura horizontal constante [tex]a[\/tex]. Essas tr\u00eas fitas conectam duas linhas paralelas. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/fig021.jpg\")
<\/p>\n\n
\nA partir da figura, tra\u00e7amos outra reta paralela de forma a dividir a fita cinza em dois paralelogramos. Indicamos as dist\u00e2ncias entre as retas como [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/fig020.jpg\")
<\/p>\n\n
\n
\n
\nAprofundando um pouco mais!<\/strong>
\nVoc\u00ea pode estar se perguntando:
\n – Mas, o que garante que a reta que passa pelos dois pontos do “cotovelo” da fita cinza \u00e9 paralela \u00e0s retas paralelas iniciais?<\/em><\/span>
\nVamos analisar melhor a fita cinza, dando nomes a alguns pontos:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/FitaCinza.png\")
<\/p>\n
\nVejamos!<\/p>\n
\nSuponhamos que temos os segmentos [tex]\\overline{AB},\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex] e queremos construir a fita cinza de maneira que a largura seja constante. Podemos fazer isso simplesmente tra\u00e7ando a paralela a [tex]\\overline{AB}[\/tex] passando por [tex]C[\/tex] e medindo \u00e0 esquerda de [tex]C[\/tex] o tamanho [tex]a[\/tex]. Marcamos o ponto [tex]F[\/tex] e ficamos com a fita [tex]ABCDEF[\/tex], formada pelos paralelogramos [tex]ABCF[\/tex] e [tex]FCDE[\/tex]. Como na solu\u00e7\u00e3o que fizemos!
\nO que precisamos ter certeza \u00e9 que n\u00e3o podemos construir outra fita cinza com estas condi\u00e7\u00f5es (segmentos [tex]\\overline{AB},\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{CD}[\/tex] e largura constante!)!! Bem, como a largura deve ser constante, conclu\u00edmos que a reta [tex]AF[\/tex] \u00e9 exatamente a \u00fanica reta paralela a [tex]\\overline{BC}[\/tex] que passa por [tex]A[\/tex], enquanto [tex]FE[\/tex] \u00e9 exatamente a \u00fanica reta paralela a [tex]\\overline{CD}[\/tex] que passa por [tex]E[\/tex]. (Aqui usamos o chamado postulado das paralelas: “Por um ponto fora de uma reta n\u00e3o se pode tra\u00e7ar mais que uma reta paralela \u00e0 reta dada”. Esta interessante afirma\u00e7\u00e3o da Geometria Euclidiana, ou seja, da geometria que aprendemos na escola, baseia-se no quinto postulado de Euclides, enunciado no livro Elementos de Euclides<\/strong><\/a>.)
\nComo as retas s\u00e3o \u00fanicas, h\u00e1 um \u00fanico ponto poss\u00edvel para ser o ponto [tex]F[\/tex], que \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o dessas retas. Logo, o [tex]F[\/tex] s\u00f3 pode ser o ponto que constru\u00edmos anteriormente, isto \u00e9, aquele tal que a fita [tex]ABCDEF[\/tex] \u00e9 formada pelos paralelogramos [tex]ABCF[\/tex] e [tex]FCDE[\/tex].
\nQue bom que deu certo!!<\/strong><\/p>\n
\n