{"id":164125,"date":"2020-09-18T23:19:28","date_gmt":"2020-09-19T02:19:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=164125"},"modified":"2023-07-23T03:12:36","modified_gmt":"2023-07-23T06:12:36","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-vertices-de-triangulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-vertices-de-triangulos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: V\u00e9rtices de tri\u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nSeis tri\u00e2ngulos foram desenhados e coloridos conforme mostra a figura abaixo.
\nDistribua os n\u00fameros [tex]0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8[\/tex] e [tex]9[\/tex] nos c\u00edrculos que foram colocados sobre os v\u00e9rtices dos tri\u00e2ngulos, de modo que as somas dos n\u00fameros colocados nos tr\u00eas v\u00e9rtices de cada tri\u00e2ngulo colorido sejam iguais.
\nDe quantas maneiras \u00e9 poss\u00edvel fazer essa distribui\u00e7\u00e3o?<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Para fazer a distribui\u00e7\u00e3o, considere os tri\u00e2ngulos fixos e, portanto, n\u00e3o fa\u00e7a rota\u00e7\u00f5es ou simetrias.<\/span><\/p>\n

Extra\u00eddo da OBM S\u00eanior<\/strong>, 1994.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSejam [tex]a,b,c,d,e,f,g,h,i,j[\/tex] os n\u00fameros colocados nos v\u00e9rtices, conforme ilustra a pr\u00f3xima figura.
\nComo [tex]a,b,c,d,e,f,g,h,i[\/tex] e [tex]j[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros distintos que valem [tex]0,1,\\cdots,8,9[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad a+b+c+d+e+f+g+h+i+j=0+1+\\cdots+8+9=45\\,.[\/tex]<\/p>\n

<\/p>\n

Sabemos que as somas dos n\u00fameros colocados nos tr\u00eas v\u00e9rtices de cada um dos seis tri\u00e2ngulos coloridos s\u00e3o iguais; assim, temos tamb\u00e9m:
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#345da8}{a+b+c=S}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#e86a14}{b+d+e=S}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#92D050}{c+e+f=S}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#dd0}{d+g+h=S}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#CC66FF}{e+h+i=S}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#00B0F0}{f+i+j=S}[\/tex]<\/strong>.
\nObserve que na primeira, na quarta e na sexta igualdades n\u00e3o aparece o n\u00famero [tex]e[\/tex]; assim, somando essas tr\u00eas igualdades segue que:
\n[tex]\\qquad (a+b+c)+(d+g+h)+(f+i+j)=3S\\\\
\n\\qquad a+b+c+d+f+g+h+i+j=3S\\\\
\n\\qquad 45-e=3S\\\\
\n\\qquad e=45-3S\\\\
\n\\qquad e=3\\cdot(15-S)\\,. \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nComo [tex]15-S[\/tex] \u00e9 um n\u00famero inteiro, a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] nos mostra que [tex]e[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex]. Assim, temos apenas quatro op\u00e7\u00f5es para o n\u00famero [tex]e[\/tex]: [tex]0[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]6[\/tex] ou [tex]9[\/tex] .
\nMas por outro lado, o n\u00famero [tex]e[\/tex] aparece em v\u00e9rtices de tr\u00eas tri\u00e2ngulos; assim, devem existir n\u00fameros naturais [tex]b,d,c,f,h,i[\/tex] tais que
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{b+d=S-e}\\quad[\/tex] ; [tex]\\qquad \\boxed{c+f=S-e}\\quad[\/tex] ; [tex]\\qquad \\boxed{h+i=S-e}[\/tex].
\nVamos, ent\u00e3o, testar os quatro valores poss\u00edveis de [tex]e[\/tex], observando que a diferen\u00e7a [tex]S-e[\/tex] dever\u00e1 ser escrita de tr\u00eas maneiras diferentes, a partir dos algarismos [tex]0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9[\/tex].<\/p>\n