{"id":164081,"date":"2020-09-18T20:26:01","date_gmt":"2020-09-18T23:26:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=164081"},"modified":"2023-07-23T03:23:17","modified_gmt":"2023-07-23T06:23:17","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-arestas-e-vertices-de-um-cubo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-arestas-e-vertices-de-um-cubo\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Arestas e v\u00e9rtices de um cubo"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nAs arestas de um cubo s\u00e3o numeradas de 1 a 12.
\nEm seguida, associamos a cada v\u00e9rtice desse cubo a soma dos n\u00fameros atribu\u00eddos \u00e0s arestas que incidem neste v\u00e9rtice. (Veja duas ilustra\u00e7\u00f5es dessas associa\u00e7\u00f5es na figura abaixo.)<\/span><\/p>\n

<\/p>\n

Os valores associados aos v\u00e9rtices podem ser todos iguais?<\/strong><\/p>\n

Extra\u00eddo da OBM S\u00eanior<\/strong>, 1994.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nVamos supor que os valores associados aos v\u00e9rtices do cubo sejam todos iguais a [tex]x[\/tex]. Perceba que [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural, j\u00e1 que \u00e9 soma de n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]12\\,.[\/tex]
\nComo o cubo tem oito v\u00e9rtices e cada aresta incide em dois v\u00e9rtices distintos, ao somarmos os oito valores associados aos v\u00e9rtices segue que:
\n[tex] \\qquad 8x=2 \\cdot \\left(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12\\right)[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\cancel{8}x=\\cancel{2} \\cdot 78[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\cancel{4}x=\\cancel{78}[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\boxed{2x=39}\\,[\/tex].
\nMas, como [tex]x \\in \\mathbb{N}[\/tex], a igualdade [tex]2x=39[\/tex] nos garante que [tex]39[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par, o que \u00e9 um absurdo!
\nCom isso, conclu\u00edmos que os valores associados aos v\u00e9rtices N\u00c3O podem ser todos iguais.<\/p>\n
\n
\n\n\n
\"explicador_p\"<\/td>\n\n

Se voc\u00ea ficou em d\u00favida com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 afirma\u00e7\u00e3o de que "cada aresta incide em dois v\u00e9rtices distintos", utilize o applet abaixo. <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Um applet para ajudar <\/p>\n

\n

\n

Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
\n(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
\n(2)<\/strong> Para ver a soma dos n\u00fameros de arestas que incidem em cada v\u00e9rtice, clique no quadradinho correspondente ao v\u00e9rtice que aparece na parte inferior do aplicativo.
\n(3)<\/strong> Se quiser voltar para a visualiza\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<\/p>\n

\n