{"id":161752,"date":"2020-08-18T02:26:35","date_gmt":"2020-08-18T05:26:35","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=161752"},"modified":"2024-06-25T21:03:05","modified_gmt":"2024-06-26T00:03:05","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-ali-babao-e-a-vigesima-segunda-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-ali-babao-e-a-vigesima-segunda-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Ali Bab\u00e3o e a vig\u00e9sima segunda de suas 40 equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nQuantas solu\u00e7\u00f5es com quatro inteiros \u00edmpares tem a equa\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}+\\dfrac{1}{d}=1\\;[\/tex]?\n<\/div>\n
\n

AJUDA<\/p>\n

\"explicador_p\"Em v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel determinarmos a paridade de express\u00f5es envolvendo n\u00fameros inteiros, a partir da paridade desses n\u00fameros, sem sequer calcular as express\u00f5es.
\nO que nos permite "adivinhar” a paridade de algumas express\u00f5es desse tipo s\u00e3o estas tr\u00eas propriedades;
\n(1)<\/strong><\/span> A soma de dois n\u00fameros inteiros de mesma paridade \u00e9 par.
\n(2)<\/strong><\/span> A soma de dois n\u00fameros inteiros de paridade oposta \u00e9 \u00edmpar.
\n(3)<\/strong><\/span> O produto de dois n\u00fameros inteiros s\u00f3 ser\u00e1 \u00edmpar se os dois n\u00fameros forem \u00edmpares.
\nCom elas, podemos construir as tabelinhas abaixo.
\n\"aritmetica\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nVamos supor que [tex]m,\\,n,\\,x,\\,y[\/tex] sejam inteiros \u00edmpares tais que [tex]\\boxed{\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}+\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=1}\\,.[\/tex]
\nAssim, segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}+\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=1\\\\
\n\\qquad \\dfrac{nxy+mxy+mny+mnx}{mnxy}=1\\\\\\
\n\\qquad nxy+mxy+mny+mnx=mnxy\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}\\\\[\/tex]<\/p>\n

Como [tex]m,\\,n,\\,x,\\,y[\/tex] s\u00e3o \u00edmpares, a propriedade (3)<\/strong><\/span> da Ajuda<\/strong><\/span> nos garante que cada parcela da adi\u00e7\u00e3o que aparece na express\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar. Assim, como "a soma de dois inteiros \u00edmpares \u00e9 um inteiro par" e "a soma de dois inteiros pares \u00e9 par", ent\u00e3o
\n►<\/span> a soma que aparece no lado esquerdo da igualdade de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par.<\/strong><\/p>\n

[tex]\\underbrace{\\underbrace{nxy+mxy}_{\\textcolor{red}{par}}+\\underbrace{mny+mnx}_{\\textcolor{red}{par}}}_{\\textcolor{red}{par}}[\/tex]<\/p>\n

Por outro lado, como [tex]m,\\,n,\\,x,\\,y[\/tex] s\u00e3o \u00edmpares, a mesma propriedade (3)<\/strong><\/span> da Ajuda<\/strong><\/span> nos garante que
\n►<\/span> o produto que aparece no lado direito da igualdade de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar.<\/strong><\/p>\n

[tex]\\underbrace{mnxy}_{\\textcolor{#38ACEC}{\u00edmpar}}[\/tex]<\/p>\n

Mas isso \u00e9 imposs\u00edvel de acontecer, pois sabemos que n\u00e3o existe um n\u00famero inteiro que seja simultaneamente par e \u00edmpar!<\/p>\n

[tex]\\qquad \\underbrace {nxy+mxy+mny+mnx}_{\\textcolor{red}{\\text{n\u00famero par}}}=\\underbrace{mnxy}_{\\textcolor{#38ACEC}{\\text{n\u00famero \u00edmpar}}}[\/tex]<\/p>\n

Com isso, conclu\u00edmos que n\u00e3o existem inteiros \u00edmpares [tex]m,\\,n,\\,x,\\,y[\/tex] tais que [tex]\\dfrac{1}{m}+\\dfrac{1}{n}+\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=1\\;[\/tex] e, portanto, a equa\u00e7\u00e3o do problema n\u00e3o tem solu\u00e7\u00e3o com quatro inteiros \u00edmpares.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Quantas solu\u00e7\u00f5es com quatro inteiros \u00edmpares tem a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}+\\dfrac{1}{d}=1\\;[\/tex]? AJUDA Em v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel determinarmos a paridade de express\u00f5es envolvendo n\u00fameros inteiros, a partir da paridade desses n\u00fameros, sem sequer … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-161752","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/161752","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=161752"}],"version-history":[{"count":86,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/161752\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220914,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/161752\/revisions\/220914"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=161752"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}