{"id":161701,"date":"2020-08-16T23:09:02","date_gmt":"2020-08-17T02:09:02","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=161701"},"modified":"2023-07-06T06:06:27","modified_gmt":"2023-07-06T09:06:27","slug":"probleminha-algarismos-escondidos-em-uma-multiplicacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-algarismos-escondidos-em-uma-multiplicacao\/","title":{"rendered":".Probleminha: Algarismos escondidos em uma multiplica\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nQuais s\u00e3o os tr\u00eas algarismos escondidos nos quadradinhos?<\/p>\n

[tex]\\begin{array} {c c c c}
\n&2&\\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\\\
\n&&\\times &\\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$\\textcolor{#FFFF00}{a} $}\\\\
\n\\hline
\n1&\\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Adaptado de N\u00fameros e opera\u00e7\u00f5es<\/strong> – Mar\u00edlia Centuri\u00f3n, 1997.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nVamos iniciar a solu\u00e7\u00e3o do problema procurando o algarismo escondido no quadradinho amarelo. Assim, precisamos determinar um algarismo que multiplicado por [tex]5[\/tex] produza um produto cujo algarismo das unidades seja [tex]5.[\/tex]
\nObservando a tabuada do [tex]5[\/tex], vemos que os n\u00fameros pares quando multiplicados por [tex]5[\/tex] resultam em um produto terminado em [tex]0[\/tex] e que os n\u00fameros \u00edmpares quando multiplicados por [tex]5[\/tex], resultam num produto terminado em [tex]5[\/tex]. Ent\u00e3o, a princ\u00edpio, temos cinco possibilidades para o quadradinho amarelo:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{eqnarray*}
\n1 \\times 5 & = & 5\\\\
\n3 \\times 5 & = & 15\\\\
\n5 \\times 5 & = & 25\\\\
\n7 \\times 5 & = & 35\\\\
\n9 \\times 5 & = & 45\\\\
\n\\end{eqnarray*}[\/tex]
\nVamos ver, agora, quais desses cinco algarismos satisfazem as outras condi\u00e7\u00f5es de nosso problema.
\nPerceba que o n\u00famero escondido no quadradinho amarelo deve ser maior do que [tex]3[\/tex], pois, caso contr\u00e1rio, o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o indicada no problema seria menor que [tex]1000[\/tex] e, portanto, um n\u00famero com tr\u00eas algarismos e n\u00e3o quatro, como indicado. Logo, os poss\u00edveis algarismos que podem estar escondidos no quadradinho amarelo s\u00e3o [tex]5,\\, 7[\/tex] ou [tex]9[\/tex]. Mas veja o que vai acontecer se o algarismo escondido pelo quadrinho amarelo for o [tex]5[\/tex]:<\/p>\n

[tex]\\begin{array} {c c c c}
\n& & 2& \\\\
\n&2&\\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\\\
\n&&\\times &\\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$5$}\\\\
\n\\hline
\n1&\\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

J\u00e1 sabemos que o produto de [tex]5[\/tex] por um algarismo ou termina em [tex]0[\/tex] ou termina em [tex]5[\/tex]; assim, [tex]5[\/tex] vezes o algarismo escondido pelo quadradinho vermelho resultaria em um produto que, somado com [tex]2[\/tex], teria como algarismo das unidades [tex]2[\/tex] ou [tex]7[\/tex] e n\u00e3o [tex]4[\/tex] como indicado. Portanto apenas o [tex]7[\/tex] ou o [tex]9[\/tex] podem estar escondidos no quadradinho amarelo.<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array} {c c c c}
\n& & 3& \\\\
\n&2&\\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\\\
\n&&\\times &\\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$7$}\\\\
\n\\hline
\n1&\\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\n\\end{array}[\/tex][tex]\\qquad \\qquad \\begin{array} {c c c c}
\n& & 4& \\\\
\n&2&\\fcolorbox{black}{#ff9797}{$\\textcolor{#ff9797}{a} $}&5\\\\
\n&&\\times &\\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$9$}\\\\
\n\\hline
\n1&\\fcolorbox{black}{#55FF00}{$\\textcolor{#55FF00}{a} $}&4&5
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n