Problema Ajuda <\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span> Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida:<\/p>\n [tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{ , com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n Na solu\u00e7\u00e3o deste problema ser\u00e1 utilizada a seguinte propriedade das Combina\u00e7\u00f5es simples: \n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n Logo, podemos construir [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$466$}\\,[\/tex] pol\u00edgonos convexos, utilizando apenas v\u00e9rtices do ene\u00e1gono.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Quantos pol\u00edgonos convexos podemos formar utilizando apenas v\u00e9rtices, n\u00e3o necessariamente todos, do ene\u00e1gono mostrado abaixo? Ajuda ✏ Combina\u00e7\u00e3o simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nQuantos pol\u00edgonos convexos podemos formar utilizando apenas v\u00e9rtices, n\u00e3o necessariamente todos, do ene\u00e1gono mostrado abaixo?<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/Ene\u00e1gono.jpg\")
<\/p>\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{ C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+ \\cdots\\ +C_{n}^{n}=2^{n}}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nInicialmente, vamos calcular quantos tri\u00e2ngulos (pol\u00edgonos de tr\u00eas v\u00e9rtices) podemos formar a partir dos nove v\u00e9rtices do ene\u00e1gono. De acordo com a Ajuda<\/strong><\/span>, isso pode ser feito de [tex]C_{9}^{3}[\/tex] maneiras. Agora, vamos calcular o n\u00famero de quadril\u00e1teros (pol\u00edgonos de quatro v\u00e9rtices): isso pode ser feito de [tex]C_{9}^{4}[\/tex] maneiras.
\nPodemos usar esse mesmo racioc\u00ednio para pol\u00edgonos de cinco, seis, sete, oito e nove v\u00e9rtices e, portanto, de acordo com a Ajuda<\/strong><\/span>, teremos:
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{3}[\/tex] pol\u00edgonos com tr\u00eas v\u00e9rtices;
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{4}[\/tex] pol\u00edgonos com quatro v\u00e9rtices;
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{5}[\/tex] pol\u00edgonos com cinco v\u00e9rtices;
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{6}[\/tex] pol\u00edgonos com seis v\u00e9rtices;
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{7}[\/tex] pol\u00edgonos com sete v\u00e9rtices;
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{8}[\/tex] pol\u00edgonos com oito v\u00e9rtices e
\n►<\/span> [tex]C_{9}^{9}[\/tex] pol\u00edgonos com nove v\u00e9rtices.
\n(Observe que nessas contagens que fizemos levamos em considera\u00e7\u00e3o que, "dado um conjunto de v\u00e9rtices, h\u00e1 um e somente um pol\u00edgono convexo com exatamente aqueles v\u00e9rtices".)<\/span>
\nSomando essas sete quantidades, obtemos que o total [tex]T[\/tex] de pol\u00edgonos poss\u00edveis de serem constru\u00eddos \u00e9:
\n[tex]\\quad T=C_{9}^{3}+C_{9}^{4}+C_{9}^{5}+C_{9}^{6}+C_{9}^{7}+C_{9}^{8}+C_{9}^{9}[\/tex].
\nMas, qual o valor final de [tex]T[\/tex]? <\/strong>
\nPela propriedade apresentada na Ajuda<\/strong><\/span> sabemos que:
\n[tex]\\qquad C_{9}^{0}+C_{9}^{1}+C_{9}^{2}+C_{9}^{3}+C_{9}^{4}+C_{9}^{5}+C_{9}^{6}+C_{9}^{7}+C_{9}^{8}+C_{9}^{9}=2^{9}[\/tex];
\nportanto, segue que:
\n[tex]\\qquad T=C_{9}^{3}+C_{9}^{4}+C_{9}^{5}+C_{9}^{6}+C_{9}^{7}+C_{9}^{8}+C_{9}^{9}\\\\
\n\\qquad T= C_{9}^{0}+C_{9}^{1}+C_{9}^{2}+ \\cdots\\ +C_{9}^{9}-\\left(C_{9}^{0}+C_{9}^{1}+C_{9}^{2}\\right)\\\\
\n\\qquad T=2^{9}-\\left(C_{9}^{0}+C_{9}^{1}+C_{9}^{2}\\right)\\\\
\n\\qquad T=512-\\left(1+9+36\\right)\\\\
\n\\qquad T=512-46=466\\,.[\/tex] <\/p>\n
\n