{"id":161537,"date":"2020-08-15T16:07:14","date_gmt":"2020-08-15T19:07:14","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=161537"},"modified":"2024-11-26T23:15:59","modified_gmt":"2024-11-27T02:15:59","slug":"sala-de-estudo-permutacoes-circulares-e-os-numeros-de-stirling-do-primeiro-tipo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-permutacoes-circulares-e-os-numeros-de-stirling-do-primeiro-tipo\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Permuta\u00e7\u00f5es Circulares e os N\u00fameros de Stirling do primeiro tipo"},"content":{"rendered":"

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Permuta\u00e7\u00f5es Circulares e os <\/em><\/p>\n

N\u00fameros de Stirling do primeiro tipo<\/em><\/p>\n

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\nO tema principal que desenvolveremos nesta Sala, N\u00fameros de Stirling do primeiro tipo<\/strong>, n\u00e3o \u00e9 um assunto abordado no Ensino M\u00e9dio. Entretanto, \u00e9 um tema muito conveniente para o Projeto dos Clubes de Matem\u00e1tica, por se tratar de um problema geral de contagem que, quando considerado em um caso particular, incide no conceito de Permuta\u00e7\u00e3o Circular. Pelo fato de envolver contagem de configura\u00e7\u00f5es discretas e tratar-se de um problema de contagem, \u00e9 poss\u00edvel trabalhar esse tema no Ensino M\u00e9dio, mais especificamente no segundo ano, quando for abordado o estudo de sequ\u00eancias num\u00e9ricas e an\u00e1lise combinat\u00f3ria ou quando da apresenta\u00e7\u00e3o da defini\u00e7\u00e3o de permuta\u00e7\u00e3o circular.
\nNa Matem\u00e1tica, existe tamb\u00e9m o conceito de N\u00fameros de Stirling do segundo tipo<\/strong> que, embora tamb\u00e9m esteja associado a um problema de contagem, n\u00e3o ser\u00e1 explorado aqui. Deixamos apenas como tema para pesquisa ou por curiosidade dentro do Projeto dos Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP.
\nNesta sala, faremos um breve estudo sobre os n\u00fameros de Stirling do primeiro tipo, que definem uma sequ\u00eancia num\u00e9rica cujos termos est\u00e3o relacionados a alguns interessantes problemas de contagem. Vamos basear a nossa discuss\u00e3o em um problema de contagem que est\u00e1 diretamente relacionado com esses n\u00fameros e \u00e9 um exemplo particular do conceito de permuta\u00e7\u00f5es circulares.<\/p>\n

Bons Estudos, pessoal! <\/em><\/p>\n

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Quem foi Stirling?<\/p>\n

\n<\/span>James Stirling <\/strong>foi um matem\u00e1tico escoc\u00eas que contribuiu com avan\u00e7os importantes na teoria das s\u00e9ries infinitas e no c\u00e1lculo infinitesimal. Ele nasceu em 11 de maio de 1692 em Garden, Reino Unido. Pouco se sabe sobre sua forma\u00e7\u00e3o acad\u00eamica al\u00e9m de que em 1710 ele viajou para Oxford e se matriculou no Balliol College Oxford, no in\u00edcio de 1711. A fam\u00edlia de Stirling apoiava fortemente a causa jacobita (Veja a refer\u00eancia [13].)<\/span> e isso teria uma influ\u00eancia significativa na sua vida.
\n<\/span>Em 1717, publicou seu primeiro trabalho, Lineae Tertii Ordinis Neutonianae<\/em>, em Oxford. Nesse trabalho, Stirling estendeu a teoria de Newton <\/span><\/a> para curvas planas de grau 3, adicionando mais 4 tipos de curvas \u00e0s 72 estudadas por Newton. Nesse livro, encontra-se tamb\u00e9m o problema da trajet\u00f3ria ortogonal que foi levantado por Leibniz<\/span><\/a> e estudado por outros matem\u00e1ticos como, por exemplo, Johann Bernoulli<\/span><\/a> e Euler<\/span><\/a>. Stirling resolveu o problema no in\u00edcio de 1716.
\n<\/span>Em 1724, Stirling viajou para Londres e l\u00e1 permaneceu por dez anos. Nesse per\u00edodo, manteve contato com v\u00e1rios matem\u00e1ticos (De Moivre<\/span><\/a>, Euler, Gabriel Cramer<\/span><\/a>, Maclaurin<\/span><\/a>, entre outros) e deu aula na William Watt’s Academy. Em 1730 publicou seu trabalho mais importante: Methodus Differentialis<\/em>.
\n<\/span>Stirling retornou \u00e0 Esc\u00f3cia em 1735, quando foi nomeado gerente da “empresa de minera\u00e7\u00e3o escocesa Leadhills”, em Lanarkshire. Em 1745, Stirling publicou um artigo sobre a ventila\u00e7\u00e3o dos po\u00e7os de minas; mas, provavelmente, n\u00e3o desistiu da Matem\u00e1tica. H\u00e1 relatos dele sobre seus trabalhos matem\u00e1ticos que foram escritos entre 1730 e 1745 e n\u00e3o foram publicados.
\n<\/span>Stirling morreu no dia 5 de dezembro de 1770, em Edimburgo, Reino Unido.<\/p>\n

\n\"\"
\nImagens extra\u00eddas de Wikipedia <\/em><\/p>\n

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Para saber mais sobre a vida do matem\u00e1tico James Stirling, clique AQUI<\/strong><\/span><\/a> e acesse um texto do site do MacTutor, um recurso on-line<\/em> que cont\u00e9m biografias de quase 3000 matem\u00e1ticos!\n<\/div>\n

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Permuta\u00e7\u00e3o Circular<\/p>\n

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\nUma permuta\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] objetos<\/strong> \u00e9 uma sequ\u00eancia ordenada desses [tex]n[\/tex] objetos, na qual cada um deles aparece uma \u00fanica vez.
\nSegue do Princ\u00edpio Multiplicativo que h\u00e1 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$n!$}\\,[\/tex] sequ\u00eancias ordenadas de [tex]n[\/tex] objetos, ou seja, [tex]n![\/tex] maneiras de permutar [tex]n[\/tex] objetos. (Para mais detalhes visite esta Sala para Leitura<\/span><\/a> do nosso Blog.)<\/span>\n<\/div>\n

\n

Vejamos um exemplo.<\/p>\n

\nExemplo 1:<\/strong> Considere o conjunto formado pelos [tex]4[\/tex] s\u00edmbolos mostrados na imagem a seguir.<\/p>\n

\n\"\"
\nFigura 1:<\/strong> Contas para formar uma pulseira<\/em><\/p>\n

►<\/span> De quantas maneiras podemos permutar os s\u00edmbolos exibidos na Figura 1<\/em>? <\/strong>
\nA resposta para a quest\u00e3o \u00e9 [tex]4!=24[\/tex] e, para ilustrar, listaremos todas as [tex]24[\/tex] permuta\u00e7\u00f5es. Para facilitar, vamos rotular cada um destes s\u00edmbolos com as letras [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex], como segue na tabela.<\/p>\n

\n\"\"
\n Figura 2:<\/strong> Contas associadas \u00e0s letras [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex] D[\/tex].<\/em><\/p>\n

As [tex]24[\/tex] permuta\u00e7\u00f5es escritas na forma de sequ\u00eancias s\u00e3o:<\/p>\n

[tex](A, B, C, D)\\,;\\,(B, C, D, A)\\,;\\,(C, D, A, B)\\,;\\,(D, A, B, C);[\/tex]
\n[tex](A, C, B, D)\\,;\\,(C, B, D, A)\\,;\\,(B, D, A, C)\\,;\\,(D, A, C, B);[\/tex]
\n[tex](A, C, D, B)\\,;\\,(C, D, B, A)\\,;\\,(D, B, A, C)\\,;\\,(B, A, C, D);[\/tex]
\n[tex](A, B, D, C)\\,;\\,(B, D, C, A)\\,;\\,(D, C, A, B)\\,;\\,(C, A, B, D);[\/tex]
\n[tex] (A, D, B, C)\\,;\\,(D, B, C, A)\\,;\\,(B, C, A, D)\\,;\\,(C, A, D, B);[\/tex]
\n[tex](A, D, C, B)\\,;\\,(D, C, B, A)\\,;\\,(C, B, A, D)\\,;\\,(B, A, D, C).[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Agora vamos considerar a seguinte quest\u00e3o:<\/p>\n

\nExemplo 2: <\/strong>
\n►<\/span> Com os s\u00edmbolos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex] D[\/tex] representando contas que podem ser utilizadas na confec\u00e7\u00e3o de pulseiras, quantas pulseiras podem ser feitas usando essas quatro contas?<\/strong>
\nPara efeito de contagem, vamos considerar que as pulseiras formadas foram colocadas sobre uma mesa, para que n\u00e3o consideremos que essas pulseiras sejam viradas e que sejam feitos outros movimentos com elas, que n\u00e3o o de gir\u00e1-las sobre a mesa.
\nObserve que, nessas condi\u00e7\u00f5es, s\u00e3o seis as pulseiras formadas:<\/p>\n

\n\"\"
\nFigura 3:<\/strong> As seis pulseiras distintas formadas pelas [tex]4[\/tex] contas.<\/em><\/p>\n

Vamos considerar a primeira pulseira mostrada na Figura 3 e vamos gir\u00e1-la no sentido anti-hor\u00e1rio, de forma que a conta verde ocupe o lugar da conta azul. A seguir, giramos novamente no sentido anti-hor\u00e1rio (segundo giro), mudando novamente a posi\u00e7\u00e3o da conta verde para a nova posi\u00e7\u00e3o da conta azul, e assim sucessivamente. Note que a pulseira \u00e9 a mesma e que as posi\u00e7\u00f5es das contas voltar\u00e3o para a posi\u00e7\u00e3o inicial, se fizermos o quarto giro.<\/p>\n

\n
\nFigura 4:<\/strong> Giros da pulseira no sentido anti-hor\u00e1rio.<\/em><\/p>\n

Observe que podemos associar cada uma das seis pulseiras da Figura 3 a um c\u00edrculo no qual s\u00e3o dispostas as letras [tex] A, B, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] que correspondem \u00e0s contas com que formamos as pulseiras. Na figura a seguir, descrevemos o c\u00edrculo associado \u00e0 primeira pulseira.<\/p>\n

\n\"\"
\nFigura 5:<\/strong> Pulseira associada a uma distribui\u00e7\u00e3o circular das letras [tex]A,B,C,D[\/tex].<\/em><\/p>\n<\/div>\n

\n

Vamos reescrever o problema das pulseiras… <\/p>\n

\n

\n►<\/span> Queremos distribuir quatro contas [tex]A, B, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] ao longo de uma pulseira. De quantas formas podemos fazer isso? <\/strong>
\nInicialmente, veja que, por exemplo, [tex] (A, B, C, D); (B, C, D, A); (C, D, A, B); (D, A, B, C) [\/tex] representam a mesma pulseira, pois basta girarmos uma delas no sentido hor\u00e1rio que obtemos as demais.
\nNote que as permuta\u00e7\u00f5es [tex] (A, C, B, D); (C, B, D, A); (B, D, A, C); (D, A, C, B) [\/tex] tamb\u00e9m representam as mesmas pulseiras.
\nObservamos, ent\u00e3o, que temos seis pulseiras distintas e, a partir delas, podemos gerar todas as permuta\u00e7\u00f5es dos quatro s\u00edmbolos que fizemos anteriormente. Para isso, veja a ilustra\u00e7\u00e3o a seguir, que corresponde \u00e0 lista de todas as permuta\u00e7\u00f5es de quatro objetos descritas no exemplo.<\/p>\n

\n\"\"
\n\"\"
\n\"\"
\nFigura 6: Distribui\u00e7\u00e3o das permuta\u00e7\u00f5es de quatro objetos em torno do c\u00edrculo.<\/em><\/p>\n

Assim, podemos distribuir as quatro contas [tex]A, B, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] ao longo de uma pulseira de [tex]24[\/tex] maneiras; no entanto, essas [tex]24[\/tex] distribui\u00e7\u00f5es definem apenas [tex]6[\/tex] pulseiras, digamos, diferentes.\n<\/p><\/div>\n

\n

Olhando o problema das pulseiras numa perspectiva mais geral, o que pretendemos agora \u00e9 contar o n\u00famero de maneiras de se ordenar [tex]n[\/tex] objetos em torno de um c\u00edrculo.
\nPara isso, vamos estabelecer o conceito de permuta\u00e7\u00e3o circular, que consiste em ordenar [tex]n[\/tex] objetos em um c\u00edrculo.
\nNo Exemplo 2 voc\u00eas devem ter percebido que para cada permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]4[\/tex] objetos geramos [tex]4[\/tex] sequ\u00eancias formadas pelos mesmos objetos (veja Figura 6<\/em>). Dessa forma, para esse exemplo, o total de permuta\u00e7\u00f5es circulares \u00e9 [tex] \\dfrac{4!}{4} = \\dfrac{4 \\cdot 3!}{4}=3!=(4-1)!. [\/tex]
\nVamos denotar por [tex]PC_{n}[\/tex] o total de permuta\u00e7\u00f5es circulares de [tex]n[\/tex]. No exemplo anterior calculamos, ent\u00e3o, [tex]PC_{4}=3!=6[\/tex].
\nGeneralizando esse caso particular, temos que o total de permuta\u00e7\u00f5es circulares de [tex]n[\/tex] objetos \u00e9 [tex] PC_{n} = (n-1)![\/tex]. Para obter essa f\u00f3rmula, basta observar que, para cada permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]n[\/tex] objetos, podemos gerar sequ\u00eancias ordenadas de [tex]n[\/tex] objetos, ou seja, [tex] n \\cdot PC_{n} = n![\/tex] e, ent\u00e3o, [tex] PC_{n}= \\dfrac{n!}{n} = \\dfrac{n \\cdot (n-1)!}{n} = (n-1)!.[\/tex]
\nAssim:<\/p>\n

\n

\nUma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]n[\/tex] objetos<\/strong> \u00e9 cada uma das disposi\u00e7\u00f5es poss\u00edveis quando dispomos os [tex]n[\/tex] objetos<\/strong> ao redor de um c\u00edrculo, considerando disposi\u00e7\u00f5es id\u00eanticas aquelas que coincidem por rota\u00e7\u00e3o.
\nO n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es circulares de [tex]n[\/tex] objetos distintos \u00e9 denotado por [tex]PC_{n}[\/tex] e assim definido:
\n [tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$ PC_{n} = (n-1)!$}\\,[\/tex].\n<\/div>\n

\n

Uma outra alternativa para estabelecer a quantidade de permuta\u00e7\u00f5es circulares de [tex]n[\/tex] objetos \u00e9 observar que, em uma mesa circular com [tex]n[\/tex] assentos com pessoas sentadas, n\u00e3o sabemos quem \u00e9 o primeiro ou o \u00faltimo nessa configura\u00e7\u00e3o. Dessa forma, fixada uma pessoa nessa mesa para ser a primeira, podemos formar [tex](n-1)![\/tex] filas com as pessoas restantes. Assim, da mesma forma, conclu\u00edmos que [tex] PC_{n}=(n-1)![\/tex].<\/p>\n

Antes de apresentarmos os N\u00fameros de Stirling,
\nque tal algumas atividades envolvendo Permuta\u00e7\u00e3o Circular?<\/strong><\/p>\n

\nAtividade 1:<\/strong> De quantas formas [tex]12[\/tex] crian\u00e7as podem formar uma roda? <\/p>\n
\n <\/p>\n
\n De [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$11!=39916800$}\\,[\/tex] maneiras [tex]12[\/tex] crian\u00e7as podem formar rodas.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nAtividade 2:<\/strong> De quantas formas oito casais fixos podem se sentar em uma roda gigante com oito bancos de dois lugares cada um, sentando cada casal em um banco? <\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
    \n
  • Vamos come\u00e7ar sentando os oito casais na roda gigante, o que pode ser feito de [tex](8-1)!=7!=5040[\/tex] formas. <\/li>\n
  • Como em cada banco h\u00e1 dois assentos, ent\u00e3o cada casal pode se sentar de duas maneiras distintas. <\/li>\n<\/ul>\n

    Logo, o total de maneiras com que oito casais podem sentar-se nessa roda gigante \u00e9 dado por [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$7!\\cdot 2^{8}$}\\,[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

    \n

    \nAtividade 3:<\/strong> De quantos modos podemos pintar as faces de uma pir\u00e2mide pentagonal regular usando seis cores diferentes, sendo cada face pintada de uma cor? <\/p>\n
    \n <\/p>\n
    \n Na figura a seguir vemos duas imagens da pir\u00e2mide: uma vis\u00e3o de frente e uma vis\u00e3o de cima. Na imagem da direita, podemos observar que a base da pir\u00e2mide \u00e9 um pent\u00e1gono e suas faces laterais s\u00e3o tri\u00e2ngulos.
    \n\"\"<\/p>\n
      \n
    • Para colorir a pir\u00e2mide escolheremos primeiro uma cor para a base, o que podemos fazer de [tex]6[\/tex] maneiras. <\/li>\n
    • Sobraram, ent\u00e3o, [tex]5[\/tex] cores para colorir as faces laterais; assim, o total de maneiras de colorirmos as faces \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]5[\/tex], isto \u00e9, [tex](5-1)!=4!=24[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

      Dessa forma, segue do Princ\u00edpio Multiplicativo que h\u00e1 [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$6 \\cdot 24= 144$}\\,[\/tex] formas de colorir a pir\u00e2mide com seis cores distintas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

      \n

      \nAtividade 4:<\/strong>
      \na)<\/strong> De quantas maneiras distintas [tex] 7 [\/tex] crian\u00e7as podem dar as m\u00e3os para brincar de ciranda?
      \nb)<\/strong> De quantas maneiras distintas [tex] 7 [\/tex] crian\u00e7as podem dar as m\u00e3os para brincar de ciranda, sendo que as crian\u00e7as [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] fiquem lado a lado?<\/p>\n
      \n <\/p>\n
      \na)<\/strong> [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$ (7-1)!=6! = 720$}\\,[\/tex] maneiras distintas.
      \nb)<\/strong> Considerando as crian\u00e7as [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] como uma \u00fanica pessoa, ter\u00edamos [tex]6[\/tex] crian\u00e7as que podem brincar de [tex](6-1)!= 5! =120[\/tex] maneiras distintas. Como as duas crian\u00e7as podem estar lado a lado de duas maneiras diferentes, a crian\u00e7a [tex]A[\/tex] segurando a m\u00e3o direita ou esquerda de [tex]B[\/tex], deve ocorrer a multiplica\u00e7\u00e3o desse resultado por [tex]2[\/tex].
      \nAssim, ser\u00e3o [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$2\\cdot 5! = 240$}\\,[\/tex] maneiras distintas.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

      \n

      \nAtividade 5:<\/strong> De quantas maneiras [tex] 7[\/tex] pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, sendo que [tex]2[\/tex] determinadas pessoas n\u00e3o devem ficar juntas?<\/p>\n
      \n <\/p>\n
      \n
        \n
      • Observe que o total de permuta\u00e7\u00f5es circulares de [tex]7[\/tex] pessoas \u00e9 [tex](7-1)!=6!=720[\/tex]. <\/li>\n
      • Agora vamos contar o n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es circulares de [tex]A,B,C,D,E, F[\/tex] e [tex]G[\/tex] nas quais [tex]A [\/tex] e [tex]B[\/tex] est\u00e3o sempre lado a lado. Considerando as pessoas [tex]A [\/tex] e [tex]B[\/tex] como uma \u00fanica pessoa temos [tex]6[\/tex] que podem sentar-se em torno da mesa circular de [tex](6-1)!=5!=120[\/tex] maneiras. Como [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] podem estar lado a lado de [tex]2[\/tex] maneiras, ent\u00e3o conclu\u00edmos que h\u00e1 [tex] 2 \\cdot 5!=240[\/tex] maneiras de [tex]7[\/tex] pessoas sentarem-se em uma mesa circular com as pessoas [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] sentadas lado a lado. <\/li>\n<\/ul>\n

        Portanto, a resposta para o problema proposto \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$720-240=480$}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

        \n

        \nAtividade 6:<\/strong> De quantas maneiras [tex]8[\/tex] meninas e [tex] 8[\/tex] meninos podem sentar-se em uma mesa circular, de forma que as meninas sempre fiquem juntas? <\/p>\n
        \n <\/p>\n
        \n
          \n
        • Como as meninas devem ficar juntas vamos consider\u00e1-las como uma pessoa s\u00f3. Dessa forma faremos a permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]9[\/tex] pessoas que \u00e9 [tex](9-1)!=8!=40320[\/tex]. <\/li>\n
        • Como as meninas podem trocar de posi\u00e7\u00e3o entre si, podemos fazer essa troca de [tex]8! = 40320[\/tex] maneiras. <\/li>\n<\/ul>\n

          Portanto, a resposta para a quest\u00e3o \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$8! \\cdot 8!=1625702400$}\\,[\/tex], segundo o Princ\u00edpio Multiplicativo.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

          \n

          \nAtividade 7:<\/strong> De quantas maneiras [tex]8[\/tex] meninos e [tex]8[\/tex] meninas podem sentar-se em uma mesa circular, de tal forma que sempre crian\u00e7as do mesmo sexo n\u00e3o fiquem juntas? <\/p>\n
          \n <\/p>\n
          \n
            \n
          • Vamos iniciar a distribui\u00e7\u00e3o com [tex]8 [\/tex] meninas que \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex] 8[\/tex]: [tex](8-1)!=7!=5040.[\/tex]<\/li>\n
          • Como crian\u00e7as do mesmo sexo n\u00e3o devem ficar juntas, ent\u00e3o colocaremos um menino entre cada duas meninas. E podemos fazer isso de [tex]8![\/tex] maneiras. <\/li>\n<\/ul>\n

            Portanto, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, a resposta para essa quest\u00e3o \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$7! \\cdot 8!=203212800$}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

            \n

            \nAtividade 8:<\/strong> De quantas maneiras [tex] 7 [\/tex] casais podem se sentar em torno de uma mesa circular contendo [tex]14[\/tex] lugares, de modo que n\u00e3o sentem juntos [tex]2[\/tex] homens e que cada homem sente ao lado da sua esposa? <\/p>\n
            \n <\/p>\n
            \nComo n\u00e3o sentam juntos [tex]2[\/tex] homens, conclu\u00edmos que n\u00e3o sentam juntas [tex]2[\/tex] mulheres e, portanto, percorrendo a mesa circular no sentido hor\u00e1rio ou anti-hor\u00e1rio devemos notar sempre que h\u00e1 casais na ordem: marido-mulher ou mulher-marido. Como s\u00e3o [tex]7[\/tex] casais, podemos consider\u00e1-los como blocos \u00fanicos a serem permutados circularmente em torno da mesa. Logo, a resposta para o problema em quest\u00e3o \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$2 \\cdot (7-1)!=1440$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

            \n

            \nAtividade 9:<\/strong> Paulo e Marta fazem parte de um grupo de [tex] 8 [\/tex] pessoas. De quantas maneiras o grupo de [tex]8[\/tex] pessoas pode se sentar em uma mesa circular, de forma que fiquem [tex]3[\/tex] pessoas entre Marta e Paulo? <\/p>\n
            \n <\/p>\n
            \n
              \n
            • Primeiramente, permutaremos circularmente as [tex]6[\/tex] pessoas deixando Paulo e Marta de fora, o que podemos fazer de [tex](6-1)!=5!=120[\/tex] maneiras distintas.<\/li>\n
            • Em seguida, vamos assentar Paulo e Marta. Observe que temos [tex]6[\/tex] op\u00e7\u00f5es de lugares para Paulo se sentar, ficando pr\u00e9-determinado o lugar para Marta: devem ficar [tex]3[\/tex] cadeiras entre Paulo e Marta. <\/li>\n<\/ul>\n

              Logo, o Princ\u00edpio Multiplicativo garante que a resposta para este problema s\u00e3o [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$6 \\cdot 5!=6 \\cdot 120=720$}\\,[\/tex] maneiras diferentes.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

              \n

              \nAtividade 10:<\/strong> De quantas maneiras podemos colorir as faces de um tronco de uma pir\u00e2mide, cujas bases s\u00e3o pentagonais e regulares, usando [tex]7[\/tex] cores diferentes?<\/p>\n
              \n <\/p>\n
              \nNa figura a seguir, apresentamos o desenho de um tronco de pir\u00e2mide cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares. Observe que bases superior e inferior s\u00e3o pent\u00e1gonos com tamanhos diferentes.
              \n\"\"<\/p>\n
                \n
              • Podemos escolher uma das [tex]7[\/tex] cores para colorir a face superior, sobrando [tex]6[\/tex] cores para colorir a face inferior. Dessa forma, segue do Princ\u00edpio Multiplicativo que h\u00e1 [tex]7 \\cdot 6=42[\/tex] formas de colorir as bases inferior e superior da pir\u00e2mide.<\/li>\n
              • Sobram [tex]5[\/tex] cores distintas para colorir as faces laterais; assim, o total de maneiras para colorir tais faces \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]5[\/tex] elementos, ou seja, [tex](5-1)!=4!=24[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

                Portanto, o Princ\u00edpio Multiplicativo garante que podemos colorir as faces do prisma pentagonal de [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$42 \\cdot 24= 1008$}\\,[\/tex] maneiras distintas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

                \n

                \nAtividade 11:<\/strong> De quantos modos podemos colorir as faces de um prisma, cujas bases s\u00e3o pentagonais e regulares, usando [tex]7[\/tex] cores diferentes? <\/p>\n
                \n <\/p>\n
                \nNa figura a seguir, vemos o desenho de um prisma, cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares. Observe que aqui as duas bases s\u00e3o iguais.
                \n \"\"<\/p>\n
                  \n
                • Como as bases s\u00e3o iguais, a ordem que escolhemos as duas cores para pint\u00e1-las \u00e9 irrelevante. Dessa forma temos um total de [tex]{\\left( \\begin{array}{c} 7\\\\2 \\end{array} \\right)} = \\dfrac{7!}{5!2!} =\\dfrac{7\\cdot 6}{2} = \\dfrac{7 \\cdot 6}{2}=21[\/tex] maneiras de colorir as bases do prisma. <\/li>\n
                • Sobram [tex]5[\/tex] cores distintas para colorir as faces laterais, e o total de maneiras de colorir essas faces \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]5[\/tex], isto \u00e9, [tex](5-1)!=4!=24[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

                  Portanto, Pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, podemos colorir o prisma pentagonal de [tex]\\,\\fcolorbox{#6C6C6C}{#d3dce8}{$21 \\cdot 24= 504$}\\,[\/tex] modos distintos.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

                  \n<\/div>\n

                  \n
                  \n
                  \n
                  \n
                  \n
                  \n

                  N\u00fameros de Stirling do primeiro tipo<\/p>\n

                  \n

                  \n

                  Considere o seguinte problema de contagem:<\/p>\n

                  \nQuest\u00e3o 1:<\/strong> De quantas maneiras quatro pessoas podem se sentar em volta de duas mesas circulares indistingu\u00edveis, sem que nenhuma mesa fique vazia?<\/div>\n
                  \nA ideia inicial para resolvermos a quest\u00e3o \u00e9 listar as poss\u00edveis distribui\u00e7\u00f5es das pessoas nas duas mesas, de forma que as mesas estejam sempre ocupadas. Para isso, vamos considerar o conjunto formado pelas [tex]4[\/tex] pessoas, a saber [tex] A,B,C [\/tex] e [tex] D[\/tex], e representar as maneiras de organizarmos esta distribui\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
                    \n
                  • Pessoa [tex]A [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex]B,C[\/tex] e [tex]D [\/tex] sentam-se juntas.<\/li>\n

                    \n\"\"
                    \nFigura 7: Ilustra\u00e7\u00e3o da primeira distribui\u00e7\u00e3o nas mesas.<\/em><\/p>\n

                  • Pessoa [tex]A [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex] B,D[\/tex] e [tex] C [\/tex] sentam-se juntas.<\/li>\n

                    Observe que essa nova distribui\u00e7\u00e3o \u00e9 sim\u00e9trica \u00e0 anterior.<\/p>\n

                    \n
                    \nFigura 8:Ilustra\u00e7\u00e3o da segunda distribui\u00e7\u00e3o nas mesas.<\/em><\/p>\n

                    \n

                    Para os casos listados a seguir a ilustra\u00e7\u00e3o por meio dos desenhos s\u00e3o an\u00e1logas \u00e0s figuras [tex]7[\/tex] e [tex] 8 [\/tex]: <\/p>\n

                  • Pessoa [tex] B [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex]A,D[\/tex] e [tex] C [\/tex] sentam-se juntas;<\/li>\n
                  • Pessoa [tex] B [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex]A,C[\/tex] e [tex] D [\/tex] sentam-se juntas;<\/li>\n
                  • Pessoa [tex] C [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex]A,B[\/tex] e [tex] D [\/tex] sentam-se juntas;<\/li>\n
                  • Pessoa [tex] C [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex]B,A[\/tex] e [tex] D [\/tex] sentam-se juntas;<\/li>\n
                  • Pessoa [tex] D [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex] A,B[\/tex] e [tex] C [\/tex] sentam-se juntas;<\/li>\n
                  • Pessoa [tex] D [\/tex] senta-se sozinha. Pessoas [tex] A, C[\/tex] e [tex] B [\/tex] sentam-se juntas;<\/li>\n
                  • Pessoas [tex]A [\/tex] e [tex] B [\/tex] sentam-se numa mesa e pessoas as [tex] C[\/tex] e [tex] D [\/tex] sentam-se na outra. (Ilustramos tal distribui\u00e7\u00e3o na figura 9.)\n

                    \n\"\"
                    \nFigura 9:Ilustra\u00e7\u00e3o com duas pessoas em cada mesa.<\/em><\/p>\n

                    Para os casos a seguir, a respectiva ilustra\u00e7\u00e3o pode ser feita analogamente \u00e0 figura [tex]9[\/tex]:<\/p>\n

                  • Pessoas [tex] A [\/tex] e [tex] C [\/tex] sentam-se numa mesa. Pessoas [tex] B [\/tex] e [tex] D [\/tex] sentam-se em outra;<\/li>\n
                  • Pessoas [tex] A [\/tex] e [tex] D[\/tex] sentam-se numa mesa. Pessoas [tex] B[\/tex] e [tex] C [\/tex] sentam-se em outra.<\/li>\n<\/ul>\n

                    Logo, h\u00e1 [tex] 11[\/tex] maneiras de distribuirmos as quatro pessoas em duas mesas circulares de forma que n\u00e3o fiquem mesas vazias.\n<\/p><\/div>\n

                    Queremos agora observar a Quest\u00e3o 1 <\/strong> numa perspectiva mais geral, distribuindo [tex]n[\/tex] pessoas em [tex]k[\/tex] mesas circulares.<\/p>\n

                    \nQuest\u00e3o 2:<\/strong> De quantas maneiras [tex]n[\/tex] pessoas podem se sentar em volta de [tex]k[\/tex] mesas circulares indistingu\u00edveis, sem que nenhuma mesa fique vazia?<\/div>\n

                    \n

                    \nPara responder essa quest\u00e3o geral, vamos estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o de recorr\u00eancia para o problema. Para isso, vamos denotar por
                    \n[tex]\\qquad \\textcolor{#4178a1}{(i)}[\/tex] [tex]D(n, k)[\/tex] o conjunto formado pelas distribui\u00e7\u00f5es de [tex]n[\/tex] pessoas em [tex]k[\/tex] mesas circulares id\u00eanticas sem que nenhuma fique vazia.<\/p>\n

                    \n

                    [tex]\\qquad \\textcolor{#4178a1}{(ii)}[\/tex][tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right]} [\/tex] o n\u00famero de elementos do conjunto [tex]D(n,k)[\/tex]. (Da Quest\u00e3o 1<\/strong> segue, por exemplo, que [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} 4 \\\\2 \\end{array} \\right]} =11 \\,.[\/tex])<\/p>\n

                    \n

                    Vamos fazer algumas an\u00e1lises iniciais de casos particulares da quest\u00e3o:<\/p>\n

                      \n
                    • Pelo enunciado, [tex]n[\/tex] e [tex]k[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros que representam quantidade de pessoas e mesas, respectivamente; assim, tais n\u00fameros s\u00e3o inteiros n\u00e3o negativos. <\/li>\n
                    • Agora, se temos mesas ([tex]k \\gt 0[\/tex]) e n\u00e3o temos pessoas para distribuir entre as mesas, ent\u00e3o n\u00e3o temos o que fazer e [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} 0 \\\\ k \\end{array} \\right]} =0\\,. [\/tex]<\/li>\n
                    • Por outro lado, se existirem pessoas para serem distribu\u00eddas entre as mesas e n\u00e3o existirem mesas, ent\u00e3o n\u00e3o temos como distribuir as pessoas. Logo, para [tex]n \\gt 0[\/tex], [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ 0 \\end{array} \\right]} =0\\,. [\/tex]<\/li>\n
                    • Se temos [tex]n[\/tex] pessoas para sentarem-se em [tex]n[\/tex] mesas, sem que nenhuma mesa fique vazia, necessariamente uma pessoa dever\u00e1 se sentar em cada uma das mesas. Ent\u00e3o, para [tex]n \\gt 0[\/tex], [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ n \\end{array} \\right]} =1 [\/tex], uma vez que as mesas s\u00e3o indistingu\u00edveis. <\/li>\n
                    • Se [tex]0 \\lt n \\lt k[\/tex], ent\u00e3o [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right]} =0 [\/tex], j\u00e1 que \u00e9 imposs\u00edvel fazermos a distribui\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o podemos ter mesas vazias e temos mais mesas do que pessoas.<\/li>\n<\/ul>\n

                      Estabelecidas essas condi\u00e7\u00f5es iniciais, a ideia agora \u00e9 analisar o problema para [tex]n \\gt k \\gt 1[\/tex] e estabelecer uma rela\u00e7\u00e3o de recorr\u00eancia. Para isso, vamos dividir o conjunto [tex] D(n,k)[\/tex] em dois subconjuntos disjuntos. Assim, sejam [tex]p_{1}, p_{2} , \\dots, p_{n}[\/tex] as [tex] n[\/tex] pessoas que iremos distribuir para sentarem-se nas [tex]k[\/tex] mesas circulares id\u00eanticas, sem que n\u00e3o fiquem mesas vazias, e consideremos os seguintes conjuntos:<\/p>\n

                        \n
                      • Caso 1:<\/strong> O subconjunto de [tex]D(n,k)[\/tex] formado pelas poss\u00edveis distribui\u00e7\u00f5es das pessoas [tex]p_{1}, p_{2} , \\dots, p_{n}[\/tex], de modo que a pessoa [tex] p_{n}[\/tex] fique sozinha em uma mesa.
                        \nObserve que, como as mesas s\u00e3o indistingu\u00edveis, tanto faz em que mesa ficar\u00e1 a pessoa que sentar\u00e1 sozinha; assim, o total de distribui\u00e7\u00f5es poss\u00edveis neste caso \u00e9 o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es para o problema de distribuir [tex]n-1[\/tex] pessoas em [tex]k-1[\/tex] mesas o que, por defini\u00e7\u00e3o, \u00e9 [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k-1 \\end{array} \\right]}[\/tex]. <\/li>\n
                      • Caso 2:<\/strong> O subconjunto de [tex]D(n,k)[\/tex] formado pelas poss\u00edveis distribui\u00e7\u00f5es das pessoas [tex]p_{1}, p_{2} , \\dots, p_{n}[\/tex], de maneira que a pessoa [tex] p_{n}[\/tex] fique em uma mesa com mais de uma pessoa.
                        \nPrecisamos determinar o total de elementos desse subconjunto de [tex]D(n,k)[\/tex], como fizemos no caso anterior.<\/li>\n

                        Para determinarmos a quantidade de distribui\u00e7\u00f5es do Caso 2<\/strong>, vamos distribuir inicialmente as pessoas [tex] p_{1}, p_{2}, \\dots, p_{n-1}[\/tex] nas [tex]k[\/tex] mesas, de modo que n\u00e3o fiquem mesas vazias, e, em seguida, vamos colocar a pessoa [tex] p_{n}[\/tex] em uma das mesas. <\/p>\n

                          \n
                        • Perceba que temos um total de [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k \\end{array} \\right]} [\/tex] maneiras de distribuirmos as [tex]n-1[\/tex] pessoas nas [tex]k[\/tex] mesas, respeitando as condi\u00e7\u00f5es do problema.<\/li>\n
                        • Em cada uma dessas distribui\u00e7\u00f5es temos que colocar a pessoa [tex]p_{n}[\/tex] e observamos que h\u00e1 [tex]n-1[\/tex] lugares para aloc\u00e1-la em uma mesa, j\u00e1 que a pessoa [tex] p_{n}[\/tex] deve ficar em uma mesa na qual j\u00e1 tenha uma pessoa. <\/li>\n<\/ul>\n

                          Dessa forma, segue do Princ\u00edpio Multiplicativo que h\u00e1 [tex](n-1)\\cdot {\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k \\end{array} \\right]} [\/tex] maneiras de distribuirmos as pessoas [tex] p_{1}, p_{2}, \\dots, p_{n} [\/tex] nas [tex]k[\/tex] mesas circulares id\u00eanticas de forma que a pessoa [tex]p_{n}[\/tex] n\u00e3o fique sozinha na mesa.<\/ul>\n

                          Segue desses dois casos que o total de elementos de [tex]D(n,k)[\/tex] \u00e9 igual a [tex](n-1) {\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k \\end{array} \\right]} + {\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k-1 \\end{array} \\right]} [\/tex], ou seja, <\/p>\n

                          \n[tex] \\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$ {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right]} ={\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k-1 \\end{array} \\right]} + (n-1) {\\left[ \\begin{array}{c} n -1\\\\ k \\end{array} \\right]} $}\\, [\/tex], se [tex]1 \\lt k \\lt n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n

                          \n
                          \n
                          \n

                          Os n\u00fameros que denotamos por [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right]} [\/tex] para resolvermos a Quest\u00e3o 2<\/strong> \u00e9 o que se define na Matem\u00e1tica como N\u00fameros de Stirling do primeiro tipo<\/strong>.
                          \nComo indicamos na apresenta\u00e7\u00e3o desta Sala, na Matem\u00e1tica definimos os n\u00fameros de Stirling de primeiro e segundo tipos. Os primeiros, conforme discutimos na Quest\u00e3o 2<\/strong>, est\u00e3o relacionados \u00e0 contagem do n\u00famero de maneiras de colocarmos pessoas em torno de mesas circulares id\u00eanticas, sem que nenhuma fique vazia. J\u00e1 os n\u00fameros de Stirling do segundo tipo aparecem quando resolvemos o problema de distribuirmos objetos distintos em recipientes id\u00eanticos, de modo que nenhum recipiente fique vazio. Se em um primeiro momento voc\u00ea achou que as duas situa\u00e7\u00f5es s\u00e3o id\u00eanticas, observe que no primeiro caso temos uma permuta\u00e7\u00e3o circular e, no segundo, uma permuta\u00e7\u00e3o simples. Se essa observa\u00e7\u00e3o n\u00e3o foi suficiente, calcule, ent\u00e3o, de quantas maneiras podemos colocar quatro objetos distintos em duas caixas id\u00eanticas, de modo que nenhuma fique vazia, e compare a sua solu\u00e7\u00e3o com a solu\u00e7\u00e3o da Quest\u00e3o 1<\/strong>. Mas voltando aos n\u00fameros de Stirling do primeiro tipo, vamos defini-los formalmente a seguir.<\/p>\n

                          \n

                          \nDefini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Se [tex]n[\/tex] e [tex]k[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais, designa-se por N\u00fameros de Stirling do primeiro tipo<\/strong><\/span>, e denota-se por [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right]} [\/tex], os n\u00fameros inteiros n\u00e3o negativos que determinam a quantidade de maneiras de distribuirmos, respectivamente, [tex]n[\/tex] pessoas em [tex]k[\/tex] mesas circulares id\u00eanticas de modo que tenhamos pelo menos uma pessoa em cada mesa<\/strong>.
                          \nPor quest\u00f5es te\u00f3ricas, convenciona-se que [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\end{array} \\right]}=1 \\;[\/tex] e [tex] \\;{\\left[ \\begin{array}{c} 0 \\\\ k \\end{array} \\right]}=0 [\/tex] para [tex]k \\gt 0.[\/tex]<\/div>\n

                          \n

                          Vejamos algumas propriedades importantes desse tipo de n\u00fameros. Algumas delas apareceram nas an\u00e1lises iniciais que fizemos ao resolver a Quest\u00e3o 2<\/strong> e vamos repetir as respectivas justificativas.<\/p>\n

                          \n

                          \nSejam [tex]n[\/tex] e [tex]k[\/tex] n\u00fameros naturais.<\/p>\n

                          \n

                          Propriedade 1:<\/strong>
                          \nPara [tex]k=0[\/tex] e [tex]n\\gt 0[\/tex], temos pessoas para serem distribu\u00eddas entre as mesas, mas n\u00e3o existem mesas; ent\u00e3o n\u00e3o temos como distribuir as pessoas. Logo<\/p>\n

                          [tex]\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{${\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ 0 \\end{array} \\right]} =0$}\\,[\/tex], para [tex]n \\gt 0\\,[\/tex].<\/p>\n

                          Propriedade 2:<\/strong>
                          \nPara [tex]0 \\lt n \\lt k[\/tex], temos pessoas e mesas, mas \u00e9 imposs\u00edvel fazermos a distribui\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o podemos ter mesas vazias e temos mais mesas do que pessoas. Assim,<\/p>\n

                          [tex]\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$ {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right]} =0$}\\,[\/tex], para [tex]0 \\lt n \\lt k\\,[\/tex].<\/p>\n

                          Propriedade 3:<\/strong>
                          \nNo caso de [tex]n[\/tex] ser um inteiro positivo qualquer, o n\u00famero [tex] \\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ n \\end{array} \\right][\/tex] \u00e9 o n\u00famero de modos de distribuirmos [tex] n[\/tex] pessoas em [tex]n[\/tex] mesas, sem que nenhuma mesa fique vazia. Neste caso, necessariamente cada pessoa dever\u00e1 sentar-se em cada uma das mesas; e como as mesas s\u00e3o indistingu\u00edveis, segue que [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ n \\end{array} \\right]} =1. [\/tex] Assim, levando em conta que, por defini\u00e7\u00e3o, [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\end{array} \\right]}=1 \\;[\/tex],<\/p>\n

                          [tex]\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$ {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ n \\end{array} \\right]} =1 $}\\,[\/tex], para [tex]n \\geqslant 0 \\,[\/tex].<\/p>\n

                          Propriedade 4:<\/strong>
                          \nNo caso de [tex]n[\/tex] ser um inteiro positivo qualquer e [tex]k=1[\/tex], ent\u00e3o o n\u00famero [tex] \\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ 1 \\end{array} \\right][\/tex] fornece a quantidade de maneiras de distribuirmos [tex] n[\/tex] pessoas em apenas uma mesa circular. Perceba que este problema \u00e9 um caso expl\u00edcito de permuta\u00e7\u00e3o circular e, dessa forma, <\/p>\n

                          [tex]\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ 1 \\end{array} \\right] =PC_{n} = (n-1)! $}\\,[\/tex], para [tex]n \\gt 0[\/tex].<\/p>\n

                          Propriedade 5:<\/strong>
                          \nEsta \u00e9 uma interessante identidade que relaciona os n\u00fameros de Stirling e os n\u00fameros binomiais; observe.
                          \nSuponha, inicialmente, que [tex]n[\/tex] seja um n\u00famero natural maior do que [tex]2[\/tex] e observe que para posicionarmos [tex] n [\/tex] pessoas em [tex]n-1[\/tex] mesas circulares id\u00eanticas, sem que mesas fiquem vazias, podemos colocar, inicialmente, [tex]n-2 [\/tex] pessoas sozinhas em [tex]n-2[\/tex] mesas e, em seguida, colocar as duas pessoas que sobraram na \u00fanica mesa que restou.
                          \nDessa forma, o problema consiste em escolher dentre as [tex] n[\/tex] pessoas duas delas para sentarem-se juntas, que \u00e9 igual a formar subconjuntos com [tex] 2[\/tex] elementos de um conjunto com [tex]n[\/tex] objetos, cujo total \u00e9 [tex]{\\left( \\begin{array}{c} n \\\\ 2 \\end{array} \\right)} [\/tex]. Logo, [tex] {\\left[ \\begin{array}{c} n \\\\ n-1 \\end{array} \\right]} ={\\left( \\begin{array}{c} n\\\\ 2 \\end{array} \\right)} [\/tex].
                          \nParticularmente, se [tex]n=2[\/tex], temos que:<\/p>\n