{"id":161522,"date":"2020-08-16T17:34:55","date_gmt":"2020-08-16T20:34:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=161522"},"modified":"2024-06-25T20:55:32","modified_gmt":"2024-06-25T23:55:32","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-o-2020o-numero-de-uma-sequencia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-2020o-numero-de-uma-sequencia\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: O 2020\u00ba n\u00famero de uma sequ\u00eancia"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220903\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00;\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nConsidere a seguinte sequ\u00eancia num\u00e9rica: [tex]26\\;;\\; 2006 \\;; \\;202606\\; ;\\; 20200606 \\;;\\; \\dots [\/tex]<br \/>\nO primeiro n\u00famero dessa sequ\u00eancia \u00e9 o [tex]26[\/tex] e, a partir da\u00ed, os pr\u00f3ximos termos s\u00e3o definidos introduzindo-se, alternadamente,<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]00[\/tex] entre os <strong>algarismos centrais [tex]2[\/tex] e [tex]6[\/tex]<\/strong><\/li>\n<p>e <\/p>\n<li>[tex]26[\/tex] entre os <strong> algarismos centrais [tex]0[\/tex] e [tex]0[\/tex]<\/strong>. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Reveja os primeiros termos da sequ\u00eancia:<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob453.png\" style=\"border: none;\"alt=\"\" width=\"545\" height=\"83\" class=\"aligncenter size-full wp-image-151963\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob453.png 545w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/prob453-300x46.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 545px) 100vw, 545px\" \/><br \/>\n<strong>Calcule a soma de todos os algarismos do [tex]2020^\\circ[\/tex] n\u00famero dessa sequ\u00eancia.<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">Adaptado da <strong> IX Olimp\u00edada Regional de Matem\u00e1tica Santa Catarina<\/strong>, 2006.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara resolver este problema, precisamos analisar o padr\u00e3o dos termos da sequ\u00eancia definida e o padr\u00e3o das somas dos algarismos desses termos.<br \/>\nVejamos:<\/p>\n<ul>\n<li>O primeiro termo \u00e9 o [tex]26[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 [tex]8[\/tex]. <\/li>\n<li>O segundo termo \u00e9 o [tex]2\\textcolor{red}{00}6[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 tamb\u00e9m [tex]8[\/tex]. <\/li>\n<li>O terceiro termo \u00e9 o [tex]2\\textcolor{red}{0}\\textcolor{#3BB9FF}{26}\\textcolor{red}{0}6[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 [tex]8+\\textcolor{#3BB9FF}{(2+6)}=16=2\\times 8[\/tex]. <\/li>\n<li>O quarto termo \u00e9 o [tex]20\\textcolor{#3BB9FF}{2}\\textcolor{red}{00}\\textcolor{#3BB9FF}{6}06[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 tamb\u00e9m [tex]16[\/tex]. <\/li>\n<li>O quinto termo \u00e9 o [tex]202\\textcolor{red}{0}\\textcolor{#3BB9FF}{26}\\textcolor{red}{0}606[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 [tex]16+\\textcolor{#3BB9FF}{(2+6)}=24=3\\times 8[\/tex]. <\/li>\n<li>O sexto termo \u00e9 o [tex]2020\\textcolor{#3BB9FF}{2}\\textcolor{red}{00}\\textcolor{#3BB9FF}{6}0606[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 tamb\u00e9m [tex]24[\/tex]. <\/li>\n<li>O s\u00e9timo termo \u00e9 o [tex]20202\\textcolor{red}{0}\\textcolor{#3BB9FF}{26}\\textcolor{red}{0}60606[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 [tex]24+\\textcolor{#3BB9FF}{(2+6)}=32=4\\times 8[\/tex]. <\/li>\n<li>O oitavo termo \u00e9 o [tex]202020\\textcolor{#3BB9FF}{2}\\textcolor{red}{00}\\textcolor{#3BB9FF}{6}060606[\/tex] e a soma de seus algarismos \u00e9 tamb\u00e9m [tex]32[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Uma tabela talvez possa ajudar na visualiza\u00e7\u00e3o dos padr\u00f5es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]\\begin{array}{c|c|c}<br \/>\n&#038; \\text{Termos}&#038;\\text{Soma dos algarismos}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n1^\\circ \\text{ termo}&#038;26 &#038; 1\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n2^\\circ \\text{ termo}&#038;2\\textcolor{red}{00}6 &#038; 1 \\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n3^\\circ \\text{ termo}&#038;20\\textcolor{#3BB9FF}{26}06 &#038; 2\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n4^\\circ \\text{ termo}&#038;202\\textcolor{red}{00}606 &#038; 2\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n5^\\circ \\text{ termo}&#038;2020\\textcolor{#3BB9FF}{26}0606 &#038; 3\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n6^\\circ \\text{ termo}&#038;20202\\textcolor{red}{00}60606 &#038; 3\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n7^\\circ \\text{ termo}&#038;202020\\textcolor{#3BB9FF}{26}060606 &#038; 4\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n8^\\circ \\text{ termo}&#038;2020202\\textcolor{red}{00}6060606 &#038; 4\\times 8\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\vdots&#038;\\vdots&#038;\\vdots<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p>Perceba que:<\/p>\n<ul>\n<li>Os termos de ordem par s\u00e3o formados a partir de seus respectivos antecessores imediatos de ordem \u00edmpar, acrescentando os algarismos [tex]\\textcolor{red}{00}[\/tex]. Assim, a soma dos algarismos de cada termo de ordem par \u00e9 a mesma soma dos algarismos do termo de ordem \u00edmpar que o precede imediatamente. <\/li>\n<li>A partir do terceiro termo, os termos de ordem \u00edmpar s\u00e3o formados a partir de seus respectivos antecessores imediatos de ordem par, acrescentando-se os algarismos [tex]\\textcolor{#3BB9FF}{26}[\/tex].<br \/>\nLogo, a soma dos algarismos de cada termo de ordem \u00edmpar, a partir do terceiro termo, \u00e9 a soma dos algarismos do termo de ordem par que o antecede imediatamente, acrescida de [tex]2+6=8[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, se denotarmos por<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(a_n\\right)=\\left(26,2006,202606,20200606,2020260606,\\cdots\\right)[\/tex]<br \/>\na sequ\u00eancia original, e por<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(s_n\\right)=\\left(8,8,16,16,24,24,32,32,\\cdots\\right)[\/tex]<br \/>\n a sequ\u00eancia formada pela soma dos algarismos dos respectivos termos de [tex]\\left(a_n\\right)[\/tex], podemos verificar que:<br \/>\n[tex]\\qquad s_{2n}=s_{2n-1}=8n[\/tex], para todo [tex]n \\in \\{1,2,3,4,\\cdots\\}[\/tex].<br \/>\nVeja alguns exemplos:<\/p>\n<ul>\n<li>Para [tex]n=1[\/tex], [tex]\\boxed{s_{2}=s_{1}=8}[\/tex].<\/li>\n<li>Para [tex]n=2[\/tex], [tex]\\boxed{s_{4}=s_{3}=16}[\/tex].<\/li>\n<li>Para [tex]n=3[\/tex], [tex]\\boxed{s_{6}=s_{5}=24}[\/tex].<\/li>\n<li>Para [tex]n=4[\/tex], [tex]\\boxed{s_{8}=s_{7}=32}[\/tex].<\/li>\n<li>Para [tex]n=5[\/tex], [tex]\\boxed{s_{10}=s_{9}=40}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Com isso, temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad s_{2020}=s_{2 \\times 1010}=s_{2 \\times 1010-1}=8 \\times 1010=8080[\/tex]<br \/>\ne, portanto, a soma de todos os algarismos do [tex]2020^\\circ[\/tex] n\u00famero da sequ\u00eancia definida no problema \u00e9  [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8080$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/O-2020\u00ba-n\u00famero-de-uma-sequ\u00eancia.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ O 2020\u00ba n\u00famero de uma sequ\u00eancia.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Considere a seguinte sequ\u00eancia num\u00e9rica: [tex]26\\;;\\; 2006 \\;; \\;202606\\; ;\\; 20200606 \\;;\\; \\dots [\/tex] O primeiro n\u00famero dessa sequ\u00eancia \u00e9 o [tex]26[\/tex] e, a partir da\u00ed, os pr\u00f3ximos termos s\u00e3o definidos introduzindo-se, alternadamente, [tex]00[\/tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-2020o-numero-de-uma-sequencia\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-161522","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/161522","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=161522"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/161522\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220905,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/161522\/revisions\/220905"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=161522"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}