{"id":161416,"date":"2020-08-14T15:14:16","date_gmt":"2020-08-14T18:14:16","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=161416"},"modified":"2023-07-06T05:51:23","modified_gmt":"2023-07-06T08:51:23","slug":"problemao-multiplos-de-99","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-multiplos-de-99\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: M\u00faltiplos de 99"},"content":{"rendered":"

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\n

Problema
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n(VI Olimp\u00edada Rioplatense<\/strong> – Adaptado) <\/span> Qual \u00e9 o menor m\u00faltiplo natural de [tex]99[\/tex] que come\u00e7a e termina com [tex]97[\/tex]?\n<\/div>\n
\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

[tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{(I)}}[\/tex] Um n\u00famero natural \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] se, e somente se, a soma dos valores absolutos de seus algarismos resulta em um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{(II)}}[\/tex] Um n\u00famero natural \u00e9 divis\u00edvel por [tex]11[\/tex] se, e somente se, a diferen\u00e7a entre a soma dos algarismos de ordem \u00edmpar<\/u> e a soma dos algarismos de ordem par<\/u> for um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]11[\/tex]. As ordens \u00edmpares e pares devem ser definidas da direita para esquerda.\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSeja [tex]N[\/tex] o n\u00famero desejado; assim, [tex]N=\\underline{9} \\underline{7}\\underline{}\\cdots\\underline{}\\underline{9}\\underline{7}\\,.[\/tex]
\nComo [tex]N[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]99[\/tex] e [tex]99=9\\cdot 11[\/tex], ent\u00e3o [tex]N[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] e [tex]11[\/tex]. Para encontrar o n\u00famero [tex]N[\/tex], vamos considerar os casos em que entre o primeiro e o \u00faltimo [tex]97[\/tex] existam [tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex], e assim por diante, algarismos, nessa ordem, e verificar as informa\u00e7\u00f5es dos [tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{Lembretes (I)}}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{(II)}}[\/tex].<\/p>\n

\n

[tex]\\textbf{Caso (1):}[\/tex] [tex]N=9797[\/tex], isto \u00e9, um n\u00famero com quatro algarismos.
\nPelo [tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{Lembrete (I)}}[\/tex], [tex]N[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]; mas isso n\u00e3o acontece, pois [tex]9+7+9+7=32[\/tex] e [tex]32[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\textbf{Caso (2):}[\/tex] [tex]N=97a97[\/tex], com [tex]a\\in\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}[\/tex].
\nDo [tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{Lembrete (I)}}[\/tex], para que [tex]N=97a97[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], a soma [tex]9+7+a+9+7[\/tex] deve ser um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], ent\u00e3o a \u00fanica op\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]a=4[\/tex]. Agora, vamos verificar se [tex]N=97497[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]11[\/tex], ou seja, vamos utilizar o [tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{Lembrete (II)}}\\,.[\/tex] Observe que<\/p>\n\n\n\n
[tex]9[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n [tex]7[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n [tex]4[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n [tex]9[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n [tex]7[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
posi\u00e7\u00e3o [tex]5[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n posi\u00e7\u00e3o [tex]4[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n posi\u00e7\u00e3o [tex]3[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n posi\u00e7\u00e3o [tex]2[\/tex] <\/td>\n<\/td>\nposi\u00e7\u00e3o [tex]1[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

e [tex](9+4+7)-(7+9)=20-16=4[\/tex].
\nComo [tex]4[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex] 11[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=97497[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]11[\/tex]. Ent\u00e3o, [tex]N=97497[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]99[\/tex]. <\/p>\n

\n[tex]\\textbf{Caso (3):}[\/tex] [tex]N=97ab97[\/tex], com [tex]a,b\\in\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}[\/tex].
\nDo [tex]\\textcolor{#800000}{\\textbf{Lembrete (I)}}[\/tex], para que [tex]N=97ab97[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], a soma [tex]9+7+a+b+9+7[\/tex] deve ser um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]. Como [tex]9+7+9+7=32[\/tex] e [tex]a,b\\in\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}[\/tex], para que a soma [tex]9+7+a+b+9+7[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] temos duas situa\u00e7\u00f5es poss\u00edveis: [tex]\\boxed{a+b=4}\\,[\/tex] ou [tex]\\,\\boxed{a+b=13}\\,[\/tex] e, com isso, temos onze op\u00e7\u00f5es para [tex]N[\/tex], escritas a seguir, j\u00e1 devidamente ordenadas: <\/p>\n