{"id":161002,"date":"2020-08-16T16:34:40","date_gmt":"2020-08-16T19:34:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=161002"},"modified":"2024-06-25T20:41:56","modified_gmt":"2024-06-25T23:41:56","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-sera","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-sera\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Ser\u00e1?"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n
  • Considere o n\u00famero [tex]125[\/tex] e o n\u00famero que obtemos invertendo a ordem de seus d\u00edgitos: [tex]521[\/tex].
    \nAgora, vamos fazer a diferen\u00e7a entre o maior e o menor desses dois n\u00fameros e, em seguida, vamos somar essa diferen\u00e7a com o n\u00famero que obtemos invertendo a ordem de seus d\u00edgitos.<\/li>\n

    \"\"<\/p>\n

  • Vamos aplicar o mesmo procedimento a partir do n\u00famero [tex]411[\/tex]:<\/li>\n

    \"\"<\/ul>\n

    Isso foi uma coincid\u00eancia ou o procedimento apresentado resulta sempre em [tex]1089[\/tex]<\/span>, independentemente do n\u00famero de tr\u00eas d\u00edgitos que seja utilizado?\n<\/div>\n

    \n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

    \nNo problema, temos que verificar se o procedimento apresentado resulta SEMPRE em [tex]1089[\/tex]<\/span>, INDEPENDENTEMENTE do n\u00famero de tr\u00eas d\u00edgitos que seja utilizado.
    \nAs duas palavras destacadas, SEMPRE<\/strong> e INDEPENDENTEMENTE<\/strong>, indicam que devemos fazer uma an\u00e1lise gen\u00e9rica tomando por base um n\u00famero [tex]n[\/tex] de tr\u00eas algarismos.
    \nSeja, ent\u00e3o, [tex]n=abc[\/tex] o n\u00famero dado e [tex]m=cba[\/tex] o que obtemos invertendo a ordem dos algarismos de [tex]n[\/tex].
    \n (Antes de prosseguir, observe que aqui as nota\u00e7\u00f5es [tex]abc[\/tex] e [tex]cba[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim a representa\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros de tr\u00eas algarismos [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] no sistema decimal.)<\/span>
    \nAo fazermos a diferen\u00e7a entre o maior e o menor desses dois n\u00fameros, estamos implicitamente supondo que eles s\u00e3o distintos (at\u00e9 porque, se eles forem iguais, a diferen\u00e7a entre eles seria zero e a propriedade em quest\u00e3o n\u00e3o seria verificada)<\/span>; portanto, suponha, sem perda de generalidade, que [tex]n \\gt m[\/tex]. Neste caso, como [tex]abc \\gt cba[\/tex], perceba que [tex]a \\gt c[\/tex], j\u00e1 que [tex]a \\lt c[\/tex] implica em [tex]m \\lt n[\/tex] e [tex]a = c[\/tex] implica em [tex]m=n[\/tex] [tex](n=aba=cbc=m)\\,.[\/tex]
    \nDessa forma, ao fazermos o esqueminha da subtra\u00e7\u00e3o, colocando os n\u00fameros de forma que tenhamos os algarismos da centena, dezena e unidade do menor embaixo dos algarismos da centena, dezena e unidade do maior, respectivamente, teremos um probleminha para come\u00e7ar a fazer a subtra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c c c }
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\,a&b&c\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\end{array}\\,-[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Percebeu?
    \nComo [tex]c \\lt a[\/tex], n\u00e3o podemos tirar [tex]a[\/tex] unidades de [tex]c[\/tex]. Ent\u00e3o, o jeito \u00e9 emprestar uma unidade de dezena do [tex]b[\/tex] para o [tex]c[\/tex] no minuendo da subtra\u00e7\u00e3o (lembre-se de que [tex]\\textcolor{#3BB9FF}{1}[\/tex] dezena corresponde a [tex]\\textcolor{red}{10}[\/tex] unidades):<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\,&b-\\textcolor{#3BB9FF}{1}&c+\\textcolor{red}{10}\\,\\\\
    \n\\,a&\\cancel{b}&\\cancel{c}\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\end{array}\\,[\/tex][tex]\\begin{array}{l}
    \n\\\\
    \n\\\\
    \n-\\\\
    \n\\\\
    \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

    \n

    e fazer esta subtra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \na\\,&b-\\textcolor{#3BB9FF}{1}&c+\\textcolor{red}{10}\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\end{array}\\,-[\/tex]<\/p>\n

    Pronto, feita a diferen\u00e7a relativa \u00e0 coluna das unidades, ficamos com outro probleminha: na coluna das dezenas, n\u00e3o conseguimos tirar [tex]b[\/tex] unidades de [tex]b-1[\/tex] unidades.<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \na\\,&b-\\textcolor{#3BB9FF}{1}&c+\\textcolor{red}{10}\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\,&&(c+10)-a\\,\\end{array}\\,-[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Agora, o jeito \u00e9 emprestar uma unidade de centena do [tex]a[\/tex] para o [tex]b-1[\/tex] no minuendo da subtra\u00e7\u00e3o; e lembre-se de que [tex]\\textcolor{#FF00FF}{1}[\/tex] centena corresponde a [tex]\\textcolor{#3BB9FF}{10}[\/tex] dezenas:<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\,&(b-\\textcolor{#3BB9FF}{1})+\\textcolor{#3BB9FF}{10}&\\,\\\\
    \n\\,a-\\textcolor{#FF00FF}{1}&\\cancel{b-\\textcolor{#3BB9FF}{1}}&c+\\textcolor{red}{10}\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\,&&(c+10)-a\\,\\end{array}\\,-[\/tex]<\/p>\n

    \n

    e fazer a diferen\u00e7a relativa \u00e0 coluna das dezenas.<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\,a-\\textcolor{#FF00FF}{1}&(b-\\textcolor{#3BB9FF}{1})+\\textcolor{#3BB9FF}{10}&c+\\textcolor{red}{10}\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\,&9&(c+10)-a\\,\\end{array}\\,-[\/tex]<\/p>\n

    J\u00e1 podemos, ent\u00e3o, finalizar a nossa subtra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\,a-\\textcolor{#FF00FF}{1}&(b-\\textcolor{#3BB9FF}{1})+\\textcolor{#3BB9FF}{10}&c+\\textcolor{red}{10}\\,\\\\
    \n\\,c&b&a\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\,(a-1)-c&9&(c+10)-a\\,\\end{array}\\,-[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Finalmente, vamos somar a diferen\u00e7a obtida com o n\u00famero resultante da invers\u00e3o dos algarismos dessa diferen\u00e7a, observe:<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\textcolor{#FF00FF}{1}&&\\\\
    \n\\,(a-1)-c&9&(c+10)-a\\,\\\\
    \n\\,(c+10)-a&9&\\,(a-1)-c\\,\\\\
    \n\\hline
    \n\\,1-1+10&8&\\,10-1\\,\\\\
    \n\\end{array}\\,\\;\\;+[\/tex]<\/p>\n

    \n

    ou seja<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{c|c|c}
    \n\\textcolor{#52D017}{Mi}&\\textcolor{#FF00FF}{Ce}&\\textcolor{#3BB9FF}{De}&\\textcolor{red}{Un}\\\\
    \n\\textcolor{#52D017}{1}&&\\\\
    \n&\\,(a-1)-c&9&(c+10)-a\\,\\\\
    \n&\\,(c+10)-a&9&\\,a-1-c\\,\\\\
    \n\\hline
    \n1&\\,0&8&9\\,\\\\
    \n\\end{array}\\,\\;\\;+[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Portanto, n\u00e3o foi uma coincid\u00eancia termos obtido [tex]1089[\/tex]<\/span> aplicando o procedimento proposto nos dois exemplos apresentados.
    \nApenas uma observa\u00e7\u00e3o: o n\u00famero inicialmente escolhido deve ter os algarismos da unidade e da centena distintos, para que o n\u00famero obtido com a invers\u00e3o dos algarismos seja distinto do original.<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    \nParticipou da discuss\u00e3o o Clube Matem\u00e1tica em casa<\/strong>.<\/div>\n

    \n\n\n
    \"\"<\/td>\n\n

    Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
    \nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
    \nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

    \n

    \nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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