{"id":160815,"date":"2020-08-09T23:50:50","date_gmt":"2020-08-10T02:50:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=160815"},"modified":"2023-07-06T05:52:31","modified_gmt":"2023-07-06T08:52:31","slug":"problema-o-calculo-do-algarismo-das-unidades","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-calculo-do-algarismo-das-unidades\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Calculando um algarismo das unidades"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nProve que, para todo n\u00famero natural [tex]n[\/tex], o algarismo das unidades de [tex] 9^{2n}[\/tex] \u00e9 igual a [tex]1[\/tex].<\/p>\n

Extra\u00eddo de: The USSR Olympiad Problem Book<\/strong> – D.O. Shklarsky; N.N. Chentzov; I.M. Yaglom. <\/p>\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

[tex]\\qquad \\boxed{a^{n} -1=(a-1)(a^{n-1}+ a^{n-2} + \\dots + a+1 )}[\/tex]
\n (Para mais detalhes da identidade indicada, visite esta Sala de Estudo<\/strong><\/a>)<\/span>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nInicialmente, observe que se [tex]n=1[\/tex], ent\u00e3o [tex] 9^{2n}=9^0=1[\/tex] e a condi\u00e7\u00e3o de que o algarismo das unidades de [tex] 9^{2n}[\/tex] \u00e9 igual a [tex]1[\/tex] \u00e9 trivialmente satisfeita. Assim, consideremos daqui para frente que [tex]n \\gt 0\\,.[\/tex]
\nSabemos que
\n[tex]\\qquad 9^{2n} = (9^{2})^{n}= 81^{n}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPor outro lado, fazendo [tex]a=81[\/tex] no Lembrete<\/strong>, segue que:
\n[tex]\\qquad 81^{n}-1= (81-1)(81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)\\\\
\n\\qquad 81^{n}-1 = 80\\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)\\\\
\n\\qquad 81^{n} = 80\\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)+1. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nAssim, de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad 9^{2n}=81^{n}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 9^{2n}=80\\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)+1[\/tex]
\n[tex]\\qquad 9^{2n}=10\\cdot \\left[8\\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)\\right]+1[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad 9^{2n}=10q+1[\/tex], com [tex] q=8\\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)[\/tex].
\nPara finalizar, observe que [tex] q=8\\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \\dots + 81 +1)[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural; logo, como
\n[tex]\\qquad 9^{2n}=10q+1[\/tex], com [tex] q \\in \\mathbb{N}[\/tex],
\n o algarismo das unidades de [tex]9^{2n}[\/tex] \u00e9 igual a [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Prove que, para todo n\u00famero natural [tex]n[\/tex], o algarismo das unidades de [tex] 9^{2n}[\/tex] \u00e9 igual a [tex]1[\/tex]. Extra\u00eddo de: The USSR Olympiad Problem Book – D.O. Shklarsky; N.N. Chentzov; I.M. Yaglom. Lembrete [tex]\\qquad \\boxed{a^{n} -1=(a-1)(a^{n-1}+ a^{n-2} + \\dots + a+1 )}[\/tex] (Para mais detalhes … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":732,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-160815","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/160815","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/732"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=160815"}],"version-history":[{"count":39,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/160815\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":196962,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/160815\/revisions\/196962"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=160815"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}