{"id":160522,"date":"2020-08-07T20:30:36","date_gmt":"2020-08-07T23:30:36","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=160522"},"modified":"2020-11-26T18:39:08","modified_gmt":"2020-11-26T20:39:08","slug":"sala-de-ajuda-triangulo-de-pascal-e-coeficientes-binomiais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulo-de-pascal-e-coeficientes-binomiais\/","title":{"rendered":".Sala de Ajuda: Tri\u00e2ngulo de Pascal e Coeficientes Binomiais"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div style=\" float:right;  width: 720px;  height:auto;\">\n<table style=\"border:0px;  height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"75\" height=\"90\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala bg1\" style=\"width:600px;\"> Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades relacionadas aos <strong>Coeficientes Binomiais<\/strong> e ao mecanismo num\u00e9rico conhecido como <strong>Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/strong>, para ajudar na resolu\u00e7\u00e3o de alguns problemas postados no nosso Blog.<br \/>\n<span style=\"color: #6d360f;padding-left:90px;letter-spacing:4px;text-align:center\"><strong>Bom proveito!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div style=\"clear: both;\"><\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"gr1 cb11\">\n<p class=\"ti1 c1\"style=\"line-height:25px;margin:10px\"><em> Tri\u00e2ngulo de Pascal e Coeficientes Binomiais<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#6d360f; margin-top: 20px; margin-bottom: 40px;border: 0 none\"\/>\n<div class=\"cb15\" style=\"margin:30px; padding:20px;\"><span style=\"color:#8b4513;\">&#9658;<\/span> Para [tex]n[\/tex] e [tex]r[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex]0\\leqslant r \\leqslant n[\/tex], chamamos de <strong><em>coeficiente binomial<\/em><\/strong> ou <strong><em>n\u00famero binomial<\/em><\/strong> o quociente denotado por  [tex]\\dbinom{n}{r}[\/tex] e assim definido: [tex]\\boxed{\\dbinom{n}{r}=\\dfrac{n!}{(n-r)! \\, r!}}[\/tex]. (Em se tratando de fatoriais, \u00e9 sempre bom se lembrar de que [tex]0!=1[\/tex].)<br \/>\nNesta nossa breve discuss\u00e3o, no n\u00famero binomial [tex]\\dbinom{n}{r}[\/tex], denominaremos [tex]n[\/tex] de \u00edndice superior e [tex]r[\/tex] de \u00edndice inferior.<\/div>\n<div class=\"cb15\"style=\"margin:30px; padding:20px;\"><span style=\"color:#8b4513;\">&#9658;<\/span> Se [tex]n[\/tex] e [tex]r[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]0\\leqslant r \\leqslant n[\/tex], chamamos de <strong><em>Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/em><\/strong> ao tri\u00e2ngulo num\u00e9rico infinito formado por coeficientes binomiais [tex]\\dbinom{n}{r}[\/tex] dispostos em linhas e colunas de forma que: <\/p>\n<ul>\n<li>n\u00fameros binomiais que tenham o mesmo \u00edndice superior fiquem na mesma linha, ordenados sequencialmente pelos \u00edndices inferiores e <\/li>\n<li>n\u00fameros binomiais que tenham o mesmo \u00edndice inferior fiquem na mesma coluna, ordenados sequencialmente pelos \u00edndices superiores.  <\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:center;margin:10px;\">[tex]\\textcolor{#800000}{\\dbinom{0}{0}\\\\<br \/>\n\\dbinom{1}{0} \\dbinom{1}{1}\\\\<br \/>\n\\dbinom{2}{0} \\dbinom{2}{1} \\dbinom{2}{2}\\\\<br \/>\n\\dbinom{3}{0} \\dbinom{3}{1} \\dbinom{3}{2}\\dbinom{3}{3}\\\\<br \/>\n\\dbinom{4}{0} \\dbinom{4}{1} \\dbinom{4}{2}\\dbinom{4}{3}\\dbinom{4}{4}}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\quad \\vdots\\\\<br \/>\n\\textcolor{#800000}{\\dbinom{n}{0} \\dbinom{n}{1} \\dbinom{n}{2}\\dbinom{n}{3} \\dbinom{n}{4} \\cdots \\dbinom{n}{n}}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\quad \\vdots\\\\<br \/>\n[\/tex] <\/p>\n<p>Observe que cada linha do Tri\u00e2ngulo de Pascal possui uma quantidade finita de elementos, mas as colunas do Tri\u00e2ngulo possuem uma quantidade infinita de elementos.<br \/>\nSe for conveniente, podemos escrever o Tri\u00e2ngulo de Pascal substituindo cada coeficiente binomial por seu respectivo valor ou  at\u00e9 mesmo dispor os n\u00fameros binomiais de forma a obter uma forma\u00e7\u00e3o diferente do Tri\u00e2ngulo.<br \/>\nVeja o Tri\u00e2ngulo de Pascal com os coeficientes binomiais que definem as sete primeiras linhas calculados e visualizado nas duas formas mais utilizadas:<\/p>\n<table style=\"margin-left:auto; margin-right:auto;width:80%\">\n<tr class=\"bf\">\n<td class=\"bf\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]<br \/>\n\\textcolor{#800000}{1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 2 \\,  \\quad 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 3 \\,  \\quad 3 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 4 \\,  \\quad 6 \\,  \\quad  \\, 4 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 5 \\,  \\quad 10 \\quad 10 \\quad 5 \\,  \\quad  \\, 1\\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 6 \\,  \\quad 15 \\quad 20 \\quad 15 \\quad 6 \\quad  \\, 1\\\\<br \/>\n1 \\, \\quad 7 \\,  \\quad 21 \\quad 35 \\quad 35 \\quad 21 \\quad 7 \\quad 1}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\quad \\vdots [\/tex]<\/td>\n<td class=\"bf\">\\begin{equation}\\textcolor{#800000}{1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 2 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 3 \\,  \\quad  \\, 3 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 4 \\,  \\quad  \\, 6 \\,  \\quad  \\, 4 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 5 \\,  \\quad  \\, 10 \\,  \\quad  \\, 10 \\,  \\quad  \\, 5 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 6 \\,  \\quad  \\, 15 \\,  \\quad  \\, 20 \\,  \\quad  \\, 15 \\,  \\quad  \\, 6 \\,  \\quad  \\, 1 \\, \\\\<br \/>\n1 \\, \\quad  \\, 7 \\,  \\quad  \\, 21 \\,  \\quad  \\, 35 \\,  \\quad  \\, 35 \\,  \\quad  \\, 21 \\,  \\quad  \\, 7 \\,  \\quad 1}\\\\<br \/>\n \\vdots \\end{equation} <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p>As solu\u00e7\u00f5es de alguns problemas do nosso Blog utilizam propriedades dos coeficientes binomiais que podem ser visualizadas no <strong>Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/strong>. Essas propriedades ser\u00e3o apresentadas e ilustradas nesta  <strong>Sala de ajuda<\/strong>, sem nos preocuparmos com suas demonstra\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>Propriedade 1: <\/strong><\/span> Sejam [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex]  n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos. Ent\u00e3o:<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n[tex] \\qquad \\qquad \\begin{pmatrix} k \\\\ k \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} k + 1 \\\\ k \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} k + 2 \\\\ k \\end{pmatrix} + &#8230; + \\begin{pmatrix} k + t \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} k + t + 1 \\\\ k + 1 \\end{pmatrix}  [\/tex]<\/p>\n<p>Esta propriedade \u00e9 conhecida como <strong><em>Teorema das Colunas do Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/em><\/strong>, pois ela pode ser enunciada a partir do Tri\u00e2ngulo de Pascal da seguinte forma:<\/p>\n<ul>\n<li>A soma dos primeiros elementos de uma coluna do Tri\u00e2ngulo de Pascal \u00e9 igual ao elemento que est\u00e1 na linha seguinte e na coluna seguinte da \u00faltima parcela da soma.<span class=\"c3\" style=\"font-size:11px\">(*)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/fig009.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"460\" height=\"478\" class=\"aligncenter size-full wp-image-160552\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/fig009.png 460w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/fig009-289x300.png 289w\" sizes=\"auto, (max-width: 460px) 100vw, 460px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>Propriedade 2:<\/strong><\/span>  <strong>Rela\u00e7\u00e3o de Stifel<\/strong> &#8211; Sejam [tex]k[\/tex] e [tex]t[\/tex]  n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos. Ent\u00e3o:<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n [tex] \\qquad \\qquad \\begin{pmatrix} k \\\\ t \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} k \\\\ t+1 \\end{pmatrix} =  \\begin{pmatrix} k+1 \\\\ t+1 \\end{pmatrix} [\/tex].<\/p>\n<p>Esta propriedade tamb\u00e9m  pode ser enunciada a partir do Tri\u00e2ngulo de Pascal da seguinte forma:<\/p>\n<ul>\n<li>Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha obt\u00e9m-se o elemento situado abaixo da segunda parcela.<span class=\"c3\">(*)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/fig010.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"288\" height=\"204\" class=\"aligncenter size-full wp-image-160553\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"font-size:11px;text-align:right;\"><span class=\"c3\">(*)<\/span> Tenham em conta que a maneira diferente de escrevermos as <strong>Propriedades 1 e 2<\/strong> n\u00e3o s\u00e3o demonstra\u00e7\u00f5es e nem justificativas para elas.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades relacionadas aos Coeficientes Binomiais e ao mecanismo num\u00e9rico conhecido como Tri\u00e2ngulo de Pascal, para ajudar na resolu\u00e7\u00e3o de alguns problemas postados no nosso Blog. Bom proveito! Tri\u00e2ngulo de Pascal e Coeficientes Binomiais &#9658; Para [tex]n[\/tex] e [tex]r[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex]0\\leqslant r \\leqslant n[\/tex], chamamos de coeficiente binomial &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulo-de-pascal-e-coeficientes-binomiais\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-160522","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/160522","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=160522"}],"version-history":[{"count":35,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/160522\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":160657,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/160522\/revisions\/160657"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=160522"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}