{"id":160241,"date":"2020-08-05T17:48:12","date_gmt":"2020-08-05T20:48:12","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=160241"},"modified":"2023-07-06T05:56:24","modified_gmt":"2023-07-06T08:56:24","slug":"problema-explorando-o-coeficiente-binomial","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-explorando-o-coeficiente-binomial\/","title":{"rendered":".Problema: Explorando o coeficiente binomial"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(BENJAMIN, A.T; QUINN, J.J. Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof<\/strong>) <\/span>
\nProve que, para quaisquer n\u00fameros naturais [tex]n\\;[\/tex] e [tex]\\;k[\/tex], com [tex] 1 \\leq k \\leq n[\/tex], vale a seguinte igualdade: <\/p>\n

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[tex] k {\\left( \\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right)} = n {\\left( \\begin{array}{c} n-1 \\\\ k-1 \\end{array} \\right)}[\/tex].<\/span>\n<\/div>\n

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Lembrete para Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\"explicador_p\"(1)<\/strong> Se [tex]m[\/tex] e [tex]p[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]p \\leqslant m\\, [\/tex], definimos o n\u00famero binomial denotado por [tex]\\dbinom{m}{p}[\/tex] da seguinte maneira:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\boxed{\\dbinom{m}{p}=\\dfrac{m!}{\\left(m-p\\right)!\\, p!}}\\, .[\/tex]\n <\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\n Sejam [tex]n\\;[\/tex] e [tex]\\;k[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex] 1 \\leq k \\leq n[\/tex].
\nUsando o Lembrete 1<\/strong>, segue que:
\n[tex]\\qquad k \\left(\\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right) = k \\cdot \\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\\\
\n\\qquad k \\left(\\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right) = \\dfrac{k \\cdot n \\cdot (n-1)!}{k \\cdot (k-1)! \\cdot (n-k)!}\\\\
\n\\qquad k \\left(\\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right) = n \\cdot \\dfrac{(n-1)!}{(k-1!) \\cdot (n-k)!}\\\\
\n\\qquad \\boxed{k \\left(\\begin{array}{c} n \\\\ k \\end{array} \\right) = n\\left( \\begin{array}{c} n-1 \\\\ k-1 \\end{array} \\right)} \\,. [\/tex]<\/p>\n
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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Lembretes para Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\"explicador_p\" (2)<\/strong> Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]p[\/tex] dentre [tex]m[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]m[\/tex] elementos tomados [tex]p[\/tex] a [tex]p[\/tex]<\/strong>. A quantidade desse tipo de agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{m,\\,p}[\/tex] ou [tex]C_m^p\\,[\/tex] e equivale ao n\u00famero binomial [tex]{\\left( \\begin{array}{c} m \\\\ p \\end{array} \\right)}[\/tex]:
\n[tex]\\qquad C_{m,\\,p}=C_m^p={\\left( \\begin{array}{c} m \\\\ p \\end{array} \\right)}=\\dfrac{m!}{(m-p)!\\,p!} \\text{ , com } m,p\\in\\mathbb{N} \\text{ e }p\\leqslant m[\/tex].<\/p>\n

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(3) Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para duas decis\u00f5es<\/strong>:
\nSe uma decis\u00e3o A<\/strong> pode ser tomada de [tex] m [\/tex] maneiras distintas e, tomada essa decis\u00e3o A<\/strong>, uma decis\u00e3o B<\/strong> puder ser tomada de [tex] n [\/tex] maneiras distintas, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decis\u00f5es A<\/strong> e B<\/strong> \u00e9 igual a [tex]~\\boxed{ m \\times n}\\, . [\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span>\n <\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\n Diferente da prova alg\u00e9brica da Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong>, procuraremos oferecer agora uma resolu\u00e7\u00e3o combinat\u00f3ria mais intuitiva. Imagine que, em uma sala de aula, h\u00e1 [tex]n[\/tex] alunos e queremos formar um Clube com [tex]k[\/tex] alunos, dentre os quais um ser\u00e1 o l\u00edder.
\nPodemos pensar de duas formas diferentes; vejamos:<\/p>\n

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