\n
Problema (Adaptado do PROFMAT <\/strong>– ENQ2019.1)<\/P> <\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n \n (b)<\/strong> Segue do item (a)<\/strong> que [tex]f(x)= (x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n (b)<\/strong> Segue do item (a)<\/strong> que [tex]f(x)= (x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Considere a fun\u00e7\u00e3o polinomial [tex]f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} [\/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[\/tex]. (a) Encontre n\u00fameros reais [tex]k[\/tex] e [tex]h[\/tex] tais que [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[\/tex]; (b) Encontre o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex]. (Adaptado do PROFMAT – ENQ2019.1) Solu\u00e7\u00e3o 1 (a) Desenvolvendo a pot\u00eancia … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nConsidere a fun\u00e7\u00e3o polinomial [tex]f: \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R} [\/tex] definida por [tex]f(x)=(x^{2} +2020x-1)^{2} +(2x+ 2020)^{2}[\/tex].
\n(a)<\/strong> Encontre n\u00fameros reais [tex]k[\/tex] e [tex]h[\/tex] tais que [tex]f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h[\/tex];
\n(b)<\/strong> Encontre o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex].<\/p>\n
\n(a)<\/strong> Desenvolvendo a pot\u00eancia que aparece na segunda parcela da express\u00e3o de [tex]f(x)[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\qquad (2x+2020)^{2}= 4x^{2} + 2 \\cdot 2020 \\cdot 2x + 2020^{2}= 4(x^{2} + 2020 \\cdot x) + 2020^{2}[\/tex].
\nPara facilitar os c\u00e1lculos, faremos [tex]z=x^{2} +2020x[\/tex]; e, com isso, segue que:
\n[tex]\\qquad f(x)=(x^{2}+ 2020x-1)^{2} + 4(x^{2}+2020x) + 2020^{2}\\\\
\n\\qquad f(x)= (z-1)^{2} +4z+2020^{2}\\\\
\n\\qquad f(x)= z^{2}-2z+1+4z + 2020^{2}\\\\
\n\\qquad f(x)= z^{2} +2z+1+2020^{2} \\\\
\n\\qquad f(x)= (z+1)^{2}+ 2020^{2}\\\\
\n\\qquad f(x)=(x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}.[\/tex]
\nComparando as duas express\u00f5es que definem a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex], [tex]\\boxed{f(x)= (x^{2}+ 2020x+1)^{2} + 2020^{2}}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\boxed{f(x)=(x^{2}+kx+1)^{2} +h}[\/tex], conclu\u00edmos que:<\/p>\n\n
\nAgora, observe que, como [tex]2020^2[\/tex] \u00e9 constante, a varia\u00e7\u00e3o de valores [tex]f(x)[\/tex] \u00e9 dada pela varia\u00e7\u00e3o de valores da express\u00e3o [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[\/tex]. Assim, particularmente, se o menor valor assumido pela express\u00e3o [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}[\/tex] for [tex]m[\/tex], ent\u00e3o o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] ser\u00e1 [tex]\\boxed{m+2020^2}\\,.[\/tex] Vamos, ent\u00e3o, determinar [tex]m\\,.[\/tex]
\nComo [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}\\geqslant 0[\/tex], \u00e9 tentador afirmar que o menor valor assumido por essa express\u00e3o seja [tex]0[\/tex]; no entanto, precisamos verificar se, de fato, existe um valor real [tex]x_0[\/tex] tal que [tex](x_0^{2}+ 2020x_0+1)^{2}=0[\/tex]. Por exemplo, note que, embora [tex]\\left(a^2+5\\right)^2 \\geqslant 0[\/tex] e [tex]\\left(b^2+20\\right)^2 \\geqslant 0[\/tex], os menores valores assumidos por essas express\u00f5es s\u00e3o [tex]25[\/tex] e [tex]400[\/tex], respectivamente, e n\u00e3o zero.<\/span>
\nPara analisar corretamente o menor valor da express\u00e3o [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[\/tex], veja que a fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]g: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] definida por [tex]g(x)=x^{2}+ 2020x+1[\/tex] possui duas ra\u00edzes reais, j\u00e1 que o seu discriminante \u00e9 maior do que [tex]0[\/tex] [tex](\\Delta = 2000^2-4\\cdot 1\\cdot 1 \\gt 0)[\/tex]. Assim, como a imagem dessas ra\u00edzes pela fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] \u00e9 [tex]0[\/tex], existem dois n\u00fameros reais distintos [tex]r_1[\/tex] e [tex]r_2[\/tex] tais que [tex]r_1^{2}+ 2020r_1+1=0[\/tex] e [tex]r_2^{2}+ 2020r_2+1=0[\/tex].
\nDessa forma, existe de fato um n\u00famero real [tex]x_0[\/tex] (na verdade dois) tal que [tex]\\left(x_0^{2}+ 2020x_0+1\\right)^2=0[\/tex]; consequentemente [tex]m=0[\/tex] e o valor m\u00ednimo de [tex]f[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{0+2020^2}[\/tex], ou seja [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2020^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n(a)<\/strong> Podemos reescrever a express\u00e3o que define [tex]f(x)[\/tex] como:
\n[tex]\\;\\;f(x)=(x^2+2020x-1)^{2}+(2x+2020)^{2}\\\\
\n\\;\\; f(x)=(x^2 + 2020x-1)\\cdot (x^2+2020x-1)+(2x+2020)^{2}\\\\
\n\\;\\; f(x)=x^{2}\\cdot (x^2+2020x-1)+2020x\\cdot (x^2+2020x-1)-1\\cdot (x^2+2020x-1)+\\\\
\n\\;\\; \\qquad \\quad +\\left((2x)^{2} + 2\\cdot 2x \\cdot 2020+ 2020^{2}\\right)\\\\
\n\\;\\; f(x)= x^{4}+2020x^{3} -x^{2} + 2020x^{3} + 2020^{2} x^{2} -2020x -x^{2} -2020x +\\\\
\n\\;\\; \\qquad \\quad + 1 +4x^{2} + 8080x + 2020^{2} \\\\
\n\\;\\; f(x)=x^{4}+4040 x^{3}+(2020^{2} + 2)x^{2}+4040x + (2020^{2} +1)\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPor outro lado, supondo que [tex]f(x) = (x^{2} + kx + 1)^{2} +h[\/tex], segue que:
\n[tex]\\; f(x)=(x^{2} + kx + 1)(x^{2} + kx + 1)+ h [\/tex]
\n[tex]\\; f(x)=x^{2}(x^{2} + kx + 1) + kx(x^{2} + kx + 1) + (x^{2} + kx + 1) + h [\/tex]
\n[tex]\\; f(x)=x^{4} + x^{3}k + x^{2} +k x^{3} + k^{2} x^{2} + kx + x^{2} + kx +1+h[\/tex]
\n[tex]\\; f(x)= x^{4} + 2kx^{3} + (k^{2}+2)x^{2} + 2kx +(h+1)\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nSegue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] que
\n[tex]\\qquad x^{4}+4040 x^{3}+(2020^{2} + 2)x^{2}+4040x + (2020^{2} +1)=\\\\
\n\\qquad = x^{4} + 2kx^{3} + (k^{2}+2)x^{2} + 2kx +(h+1)[\/tex]
\ne, portanto,
\n[tex]\\qquad \\left\\{ \\begin{array}{lll}
\n 4040=2k & \\quad \\textcolor{#800000}{(a)} & \\\\
\n 2020^{2} + 2= k^{2} +2 & \\quad \\textcolor{#800000}{(b)} & \\\\
\n 4040 = 2k & \\quad \\textcolor{#800000}{(c)} & \\\\
\n 2020^{2} +1= h+1 & \\quad \\textcolor{#800000}{(d)} & \\\\
\n\\end{array}\\right.[\/tex]
\nAssim, de [tex]\\textcolor{#800000}{(d)}[\/tex] conclu\u00edmos que [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$h=2020^{2}$}[\/tex] e de [tex]\\textcolor{#800000}{(a)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(b)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(c)}[\/tex] conclu\u00edmos que [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=2020$}\\,.[\/tex] <\/p>\n
\nAgora, observe que, como [tex]2020^2[\/tex] \u00e9 constante, a varia\u00e7\u00e3o de valores [tex]f(x)[\/tex] \u00e9 dada pela varia\u00e7\u00e3o de valores da express\u00e3o [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[\/tex]. Assim, particularmente, se o menor valor assumido pela express\u00e3o [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}[\/tex] for [tex]m[\/tex], ent\u00e3o o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] ser\u00e1 [tex]\\boxed{m+2020^2}\\,.[\/tex] Vamos, ent\u00e3o, determinar [tex]m\\,.[\/tex]
\nComo [tex](x^{2}+ 2020x+1)^{2}\\geqslant 0[\/tex], \u00e9 tentador afirmar que o menor valor assumido por essa express\u00e3o seja [tex]0[\/tex]; no entanto, precisamos verificar se, de fato, existe um valor real [tex]x_0[\/tex] tal que [tex](x_0^{2}+ 2020x_0+1)^{2}=0[\/tex]. Por exemplo, note que, embora [tex]\\left(a^2+5\\right)^2 \\geqslant 0[\/tex] e [tex]\\left(b^2+20\\right)^2 \\geqslant 0[\/tex], o menor valor assumido por essas express\u00f5es s\u00e3o [tex]25[\/tex] e [tex]400[\/tex], respectivamente, e n\u00e3o zero.<\/span>
\nPara analisar corretamente o menor valor da express\u00e3o [tex] (x^{2}+ 2020x+1)^{2}[\/tex], veja que a fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]g: \\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] definida por [tex]g(x)=x^{2}+ 2020x+1[\/tex] possui duas ra\u00edzes reais, j\u00e1 que o seu discriminante \u00e9 maior do que [tex]0[\/tex] [tex](\\Delta = 2020^2-4\\cdot 1\\cdot 1 \\gt 0)[\/tex]. Assim, como a imagem dessas ra\u00edzes pela fun\u00e7\u00e3o [tex]g[\/tex] \u00e9 [tex]0[\/tex], existem dois n\u00fameros reais distintos [tex]r_1[\/tex] e [tex]r_2[\/tex] tais que [tex]r_1^{2}+ 2020r_1+1=0[\/tex] e [tex]r_2^{2}+ 2020r_2+1=0[\/tex].
\nDessa forma, existe de fato um n\u00famero real [tex]x_0[\/tex] (na verdade dois) tal que [tex]\\left(x_0^{2}+ 2020x_0+1\\right)^2=0[\/tex]; consequentemente [tex]m=0[\/tex] e o valor m\u00ednimo de [tex]f[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{0+2020^2}[\/tex], ou seja, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2020^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n