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Problema Adaptado de Matem\u00e1tica – Contexto e Aplica\u00e7\u00f5es<\/strong>, Volume \u00danico \u00fanico – Luiz Roberto Dante<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Considere a fun\u00e7\u00e3o polinomial definida por [tex]f(x) = x^{3} + 2x^{2} -ax -2[\/tex], sendo [tex]a[\/tex] um n\u00famero real. Sabendo que [tex]x_{1}[\/tex] e [tex]-x_{1}[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]f(x)=0[\/tex], calcule [tex]f(2)[\/tex]. Adaptado de Matem\u00e1tica – Contexto e Aplica\u00e7\u00f5es, Volume \u00danico \u00fanico – Luiz Roberto Dante Solu\u00e7\u00e3o … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n Considere a fun\u00e7\u00e3o polinomial definida por [tex]f(x) = x^{3} + 2x^{2} -ax -2[\/tex], sendo [tex]a[\/tex] um n\u00famero real.
\nSabendo que [tex]x_{1}[\/tex] e [tex]-x_{1}[\/tex] s\u00e3o ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]f(x)=0[\/tex], calcule [tex]f(2)[\/tex].<\/p>\n
\nSendo [tex]x_{1}[\/tex] e [tex]-x_{1}[\/tex] ra\u00edzes de [tex]f(x)=0[\/tex] temos que:
\n[tex] \\qquad \\begin{cases}
\nf(x_{1}) = 0 \\\\
\n f(-x_{1}) =0
\n\\end{cases}\\;\\;.[\/tex]
\nSubstituindo a express\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o, temos:
\n[tex] \\qquad \\begin{cases}
\nx_{1}^{3} +2x_{1}^{2} -ax_{1} -2=0 \\\\
\n (-x_{1})^{3} +2(-x_{1})^{2} -a(-x_{1}) -2=0
\n \\end{cases}\\;\\;[\/tex],
\n ou seja,
\n[tex] \\qquad \\left\\{ \\begin{array}{ccc}
\n x_{1}^{3} +2x_{1}^{2} -ax_{1} -2=0, & \\hspace{0.3cm} \\textcolor{#800000}{(i)}& \\\\
\n -x_{1}^{3} +2x_{1}^{2} + ax_{1} -2=0. & \\hspace{0.3cm} \\textcolor{#800000}{(ii)} & \\\\
\n\\end{array}\\right.[\/tex]
\nSomando as equa\u00e7\u00f5es [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}\\;[\/tex] e [tex]\\; \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 4x_{1}^{2}-4=0 \\\\
\n\\qquad 4x_{1}^{2}=4 \\\\
\n\\qquad \\cancel{4}x_{1}^{2}= \\cancel{4} \\\\
\n\\qquad x_1^{2}=1, [\/tex]
\ndonde conclu\u00edmos que [tex] x_{1} =1[\/tex] ou [tex]x_{1}=-1[\/tex].
\nAssim, as duas ra\u00edzes sim\u00e9tricas [tex]x_1[\/tex] e [tex]-x_1[\/tex] s\u00e3o os n\u00fameros [tex]1[\/tex] e [tex]-1[\/tex]. De posse desta informa\u00e7\u00e3o, vamos calcular o valor de [tex]a[\/tex]. Considere, sem perda de generalidade, [tex]x_1=1 [\/tex]; assim, segue de [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}\\;[\/tex], que:
\n[tex]\\qquad (1)^{3} +2 \\cdot (1)^{2} -a \\cdot 1 -2=0 \\\\
\n\\qquad 1+2-a-2=0 \\\\
\n\\qquad a=1 \\,.[\/tex]
\nDessa forma, [tex]f(x)=x^{3} +2x^{2} -x -2[\/tex] e
\n[tex]\\qquad f(2) = 2^{3} +2 \\cdot 2^{2} -2-2=16-4=12[\/tex].
\nPortanto, [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ f(2)=12$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
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