Problema \n A figura abaixo mostra duas semicircunfer\u00eancias de di\u00e2metros [tex]AB = 4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]AC = 6\\text{ cm}[\/tex]. Calcule o raio da circunfer\u00eancia que \u00e9 tangente \u00e0s duas semicircunfer\u00eancias e ao segmento [tex]\\overline{BC}[\/tex].<\/p>\n (Extra\u00eddo de Teorema de Pit\u00e1goras e \u00c1reas<\/strong>, Apostila do PIC-OBMEP)<\/p>\n<\/div>\n Lembretes<\/p>\n [tex] \\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], por [tex]\\overline{AB}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]AB[\/tex].\n<\/p><\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Veja que o semiper\u00edmetro [tex]p[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]MNP[\/tex] \u00e9: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) A figura abaixo mostra duas semicircunfer\u00eancias de di\u00e2metros [tex]AB = 4\\text{ cm}[\/tex] e [tex]AC = 6\\text{ cm}[\/tex]. Calcule o raio da circunfer\u00eancia que \u00e9 tangente \u00e0s duas semicircunfer\u00eancias e ao segmento [tex]\\overline{BC}[\/tex]. (Extra\u00eddo de Teorema de Pit\u00e1goras e \u00c1reas, Apostila do PIC-OBMEP) Lembretes [tex] \\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/RaioComplicado.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
[tex] \\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Em um tri\u00e2ngulo de lados medindo [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex], a f\u00f3rmula de Her\u00e3o nos garante que a \u00e1rea [tex]A[\/tex] desse tri\u00e2ngulo \u00e9:
\n[tex]A=\\sqrt{p\\cdot(p-a)\\cdot(p-b)\\cdot(p-c)}[\/tex], onde [tex]p=\\dfrac{a+b+c}{2}\\,.[\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra da f\u00f3rmula de Her\u00e3o, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n
\nSejam [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex] os centros das semicircunfer\u00eancias de di\u00e2metros [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex], respectivamente, [tex]P[\/tex] o centro da circunfer\u00eancia e [tex]R[\/tex] o ponto de tang\u00eancia entre a circunfer\u00eancia e a semicircunfer\u00eancia de di\u00e2metro [tex]\\overline{AB}[\/tex].
\nSendo [tex]PR=PS=PT=x[\/tex], ent\u00e3o [tex]MA=MR=2[\/tex], [tex]MN=1[\/tex] e [tex]NP=3-x[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/RaioComplicadoSolu\u00e7\u00e3o.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad p=\\dfrac{2+x+3-x+1}{2}=3[\/tex];
\nassim, utilizando o Lembrete 1<\/strong><\/span>, a \u00e1rea deste mesmo tri\u00e2ngulo \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad S_{MNP}=\\sqrt{3\\cdot(3-(2+x))\\cdot(3-(3-x))\\cdot(3-1)}\\\\
\n\\qquad \\boxed{S_{MNP}=\\sqrt{3\\cdot(3-2-x)\\cdot(3-3+x)\\cdot(3-1)}}\\,.[\/tex]
\nMas tamb\u00e9m podemos calcular a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]MNP[\/tex] pela f\u00f3rmula [tex]\\,\\dfrac{\\text{base} \\times \\text{altura}}{2}[\/tex]; assim:
\n[tex]\\qquad \\boxed{S_{MNP}=\\dfrac{1\\cdot x}{2}}[\/tex],
\nonde, tomando o segmento [tex]\\overline{MN}[\/tex] como a base, [tex]\\overline{PS}[\/tex] \u00e9 a altura relativa a essa base.
\nIndependentemente de como calculamos as duas \u00e1reas, o valor \u00e9 o mesmo; portanto, segue que:
\n[tex]\\qquad \\sqrt{3\\cdot(3-2-x)\\cdot(3-3+x)\\cdot(3-1)}=\\dfrac{1\\cdot x}{2}\\\\
\n\\qquad \\sqrt{3\\cdot(1-x)\\cdot x\\cdot 2}=\\dfrac{x}{2}\\\\
\n\\qquad 3\\cdot(1-x)\\cdot x \\cdot 2 = \\dfrac{x^{2}}{4} \\\\
\n\\qquad 24x\\cdot(1-x) = x^{2} \\\\
\n\\qquad 25x^{2}-24x=0\\\\
\n\\qquad x\\cdot(25x-24)=0\\\\
\n\\qquad x=0 \\;\\text{ ou }\\; x=\\dfrac{24}{25}=0,96\\,.[\/tex]
\nComo [tex]x[\/tex] representa um comprimento de raio, ent\u00e3o [tex]x\\gt0 [\/tex] e, portanto, o comprimento do raio da circunfer\u00eancia em quest\u00e3o \u00e9 [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,96 \\text{ cm}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n