{"id":159199,"date":"2020-08-17T14:11:42","date_gmt":"2020-08-17T17:11:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=159199"},"modified":"2023-07-06T06:02:57","modified_gmt":"2023-07-06T09:02:57","slug":"desafio-relacao-entre-areas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-relacao-entre-areas\/","title":{"rendered":".Desafio: Rela\u00e7\u00e3o entre \u00e1reas"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n Sobre cada um dos lados de um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], foram desenhados os quadrados [tex]ABKL[\/tex], [tex]CAMJ[\/tex] e [tex]BCGF[\/tex], de modo que os lados de cada quadrado tenham exatamente o comprimento do lado do tri\u00e2ngulo sobre o qual foi desenhado. Em seguida, foram coloridos de verde os tri\u00e2ngulos [tex]ALM[\/tex], [tex]CJG[\/tex] e [tex]BFK[\/tex] e, por fim, foram desenhados mais tr\u00eas quadrados com lados [tex]\\overline{LM}[\/tex], [tex]\\overline{GJ}[\/tex] e [tex]\\overline{FK}[\/tex], respectivamente. A \u00e1rea total dos tr\u00eas quadrados inicialmente desenhados \u00e9 [tex]A_1[\/tex] e a \u00e1rea total dos tr\u00eas \u00faltimos quadrados desenhados \u00e9 [tex]A_2[\/tex].
\nDetermine a rela\u00e7\u00e3o entre [tex]A_1[\/tex] e [tex]A_2[\/tex].<\/strong>
\n\"\"<\/p>\n

Extra\u00eddo de Senior Mathematical Challenge<\/strong>,1998 – 2004<\/p>\n<\/div>\n

\n

AJUDA<\/p>\n

\"explicador_p\"Se voc\u00ea ficou com d\u00favidas com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 constru\u00e7\u00e3o da figura, clique no bot\u00e3o abaixo e veja um gif animado.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\"\"

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra<\/a><\/span><\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nConsidere [tex]AB=c[\/tex], [tex]AC=b[\/tex] e [tex]CB=a[\/tex] as medidas dos lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex]. <\/p>\n

<\/p>\n

Ent\u00e3o, os lados dos tr\u00eas quadrados internos s\u00e3o [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] ; dessa forma, a \u00e1rea total [tex]A_1[\/tex] dos tr\u00eas quadrados inicialmente desenhados \u00e9 [tex]\\,\\boxed{A_1=a^2+b^2+c^2}\\,.[\/tex]
\nPara simplificar nota\u00e7\u00f5es, denotaremos por [tex]cos\\hat{A}[\/tex], [tex]cos\\hat{B}[\/tex] e [tex]cos\\hat{C}[\/tex] os cossenos relativos \u00e0s medidas em graus dos \u00e2ngulos internos [tex]\\angle{BAC}[\/tex], [tex]\\angle{CBA}[\/tex] e [tex]\\angle{ACB}[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]ABC\\,[\/tex] e vamos identificar os \u00e2ngulos com suas respectivas medidas.
\nAgora, vamos aplicar a Lei dos Cossenos no tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], em rela\u00e7\u00e3o aos tr\u00eas lados:
\n[tex]\\qquad a^2=b^2+c^2-2 \\cdot b \\cdot c \\cdot cos\\hat{A} [\/tex],
\n[tex]\\qquad b^2=a^2+c^2-2 \\cdot a \\cdot c \\cdot cos\\hat{B} [\/tex],
\n[tex]\\qquad c^2=a^2+b^2-2 \\cdot a \\cdot b \\cdot cos\\hat{C} [\/tex],
\ne concluir, respectivamente, que:
\n[tex]\\qquad 2 \\cdot b \\cdot c \\cdot cos\\hat{A}=b^2+c^2-a^2[\/tex],\t[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2 \\cdot a \\cdot c \\cdot cos\\hat{B}=a^2+c^2-b^2[\/tex],\t[tex]\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2 \\cdot a \\cdot b \\cdot cos\\hat{C}=a^2+b^2-c^2[\/tex].\t[tex]\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/p>\n