{"id":158513,"date":"2020-07-15T23:09:24","date_gmt":"2020-07-16T02:09:24","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=158513"},"modified":"2024-11-25T22:37:36","modified_gmt":"2024-11-26T01:37:36","slug":"sala-para-leitura-probabilidade-e-eventos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura-probabilidade-e-eventos\/","title":{"rendered":".Sala para Leitura_037: Probabilidade e Eventos"},"content":{"rendered":"

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas relativas ao estudo de probabilidade para ajud\u00e1-los com os problemas e as atividades do nosso Blog.
\nBom Proveito, pessoal!<\/strong><\/span><\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

<\/div>\n
\n

Probabilidade e eventos<\/p>\n

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Eventos<\/p>\n

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A Teoria das Probabilidades<\/strong><\/span> \u00e9 o ramo da Matem\u00e1tica que fornece ferramentas para modelarmos os chamados fen\u00f4menos ou experimentos aleat\u00f3rios, isto \u00e9, aquelas a\u00e7\u00f5es em que o "acaso" representa um papel preponderante e n\u00e3o podemos prever com certeza o que vai acontecer. S\u00e3o exemplos de experimentos aleat\u00f3rios:<\/p>\n

(1) Lan\u00e7ar um dado cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex] e verificar a numera\u00e7\u00e3o da face voltada para cima quando o mesmo fica em repouso sobre uma superf\u00edcie.
\n(2) Escolher uma pe\u00e7a de um lote de fabrica\u00e7\u00e3o e verificar se a mesma tem ou n\u00e3o defeito.
\n(3) A cobran\u00e7a de um p\u00eanalti por um jogador de futebol.
\n(4) O lan\u00e7amento de uma moeda e a verifica\u00e7\u00e3o se, depois da queda, a face voltada para cima \u00e9 cara ou coroa.
\n(5) A retirada de uma bola de uma urna com [tex]50[\/tex] bolas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]50[\/tex] e observa\u00e7\u00e3o de seu n\u00famero.
\n(6) Verificar o tipo sangu\u00edneo de um habitante de uma cidade escolhido ao acaso.
\n(7) Retirar uma carta de um baralho completo e verificar o seu naipe.<\/div>\n

Mesmo apresentando resultados imprevis\u00edveis se repetidos v\u00e1rias vezes em processos semelhantes, podemos quantificar a chance que cada resultado poss\u00edvel tem de ocorrer em fen\u00f4menos aleat\u00f3rios utilizando ferramentas da Teoria das Probabilidades. Para facilitar a apresenta\u00e7\u00e3o dessas ferramentas, \u00e9 usual denominar o conjunto de todos os poss\u00edveis resultados de um experimento aleat\u00f3rio de espa\u00e7o amostral<\/strong><\/span> do experimento e de eventos<\/strong><\/span> os poss\u00edveis resultados de um experimento. <\/p>\n

\n

\n►<\/span> Espa\u00e7o Amostral<\/strong><\/span>: Conjunto formado por todos os poss\u00edveis resultados de um experimento ou fen\u00f4meno aleat\u00f3rio. Neste texto, indicaremos esse conjunto pela letra grega mai\u00fascula \u00f4mega, [tex]\\Omega[\/tex], indexada ou n\u00e3o, e trataremos apenas de experimentos aleat\u00f3rios cujos respectivos espa\u00e7os amostrais sejam finitos.
\nCada elemento de um espa\u00e7o amostral \u00e9 denominado ponto amostral<\/strong>.<\/p>\n

\n

►<\/span> Evento<\/strong><\/span>: qualquer subconjunto do espa\u00e7o amostral. Os eventos geralmente s\u00e3o indicados por letras mai\u00fasculas do nosso alfabeto, indexadas ou n\u00e3o; e, na pr\u00e1tica, dizemos que um evento E<\/strong> ocorre<\/strong><\/span> se, quando realizado o experimento, obt\u00e9m-se um resultado que pertence a E<\/strong>.\n<\/div>\n

\n

Um primeiro passo no estudo de um experimento aleat\u00f3rio \u00e9 compreendermos os resultados poss\u00edveis de se obter com a realiza\u00e7\u00e3o desse experimento, ou seja, antes de mais nada, \u00e9 necess\u00e1rio conhecer e entender bem o espa\u00e7o amostral do experimento.
\n►<\/span> Para os experimentos exemplificados acima, observe que os respectivos espa\u00e7os amostrais s\u00e3o os seguintes:<\/p>\n

(1) [tex]\\Omega_1=\\{1,2,3,4,5,6\\}[\/tex].
\n(2) [tex]\\Omega_2 = \\{[\/tex]pe\u00e7a defeituosa , pe\u00e7a sem defeitos[tex]\\}[\/tex].
\n(3) [tex]\\Omega_3 = \\{[\/tex]p\u00eanalti convertido , p\u00eanalti desperdi\u00e7ado[tex]\\}[\/tex] ou
\n[tex]\\quad \\;\\Omega_3 = \\{[\/tex]p\u00eanalti convertido , defesa do goleiro , bola chutada para fora[tex]\\}[\/tex],
\n dependendo do que desejamos analisar.<\/span>
\n(4) [tex]\\Omega_4=\\{[\/tex]cara , coroa[tex]\\}[\/tex].
\n(5) [tex]\\Omega_5=\\{1,2,3,4,\\cdots,49,50\\}[\/tex].
\n(6) [tex]\\Omega_6=\\{A, B, AB, O\\}[\/tex].
\n(7) [tex]\\Omega_7=\\{[\/tex]ouros, copas, paus, espadas[tex]\\}[\/tex].<\/div>\n

►<\/span> Para esses experimentos, podemos, por exemplo, definir respectivamente os seguintes eventos:<\/p>\n

(1) [tex]E_1:[\/tex] Obter um n\u00famero par. Neste caso, [tex]E_1=\\{2,4,6\\} \\subset \\Omega_1[\/tex].
\n(2) [tex]E_2:[\/tex] A pe\u00e7a escolhida \u00e9 defeituosa. Neste caso, [tex]E_2=\\{[\/tex]pe\u00e7a defeituosa [tex]\\}\\subset \\Omega_2[\/tex].
\n(3) [tex]E_3:[\/tex] O jogador fez o gol. Neste caso, [tex]E_3= \\{[\/tex]p\u00eanalti convertido[tex]\\}\\subset \\Omega_3[\/tex].
\n(4) [tex]E_4:[\/tex] Obter cara. Neste caso, [tex]E_4=\\{[\/tex]cara[tex]\\}\\subset \\Omega_4[\/tex].
\n(5) [tex]E_5:[\/tex] Retirar uma bola com numera\u00e7\u00e3o acima de [tex]45[\/tex]. Neste caso, [tex]E_5=\\{46,47,48,49,50\\}\\subset \\Omega_5[\/tex].
\n(6) [tex]E_6:[\/tex] O tipo sangu\u00edneo do habitante \u00e9 [tex]AB[\/tex]. Neste caso, [tex]E_6=\\{AB\\}\\subset \\Omega_6[\/tex].
\n(7) [tex]E_7:[\/tex] O naipe da carta \u00e9 paus. Neste caso, [tex]E_7=\\{[\/tex]paus[tex]\\}\\subset \\Omega_7[\/tex].<\/div>\n
\n

Tipos especiais de eventos <\/em><\/p>\n

\n►<\/span> H\u00e1 eventos que sempre ocorrem e por isso s\u00e3o chamados de eventos certos<\/strong>. J\u00e1 os que nunca ocorrem s\u00e3o chamados de eventos imposs\u00edveis<\/strong>.
\nLan\u00e7ar um dado, cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], e "obter um n\u00famero menor do que oito" \u00e9 um evento certo; mas "obter um n\u00famero maior do que dez" \u00e9 um evento imposs\u00edvel.<\/p>\n

\n

►<\/span> Dentro de um mesmo espa\u00e7o amostral, quando a ocorr\u00eancia de um evento impossibilita a ocorr\u00eancia de outro evento dizemos que os eventos s\u00e3o mutuamente excludentes<\/strong> ou disjuntos<\/strong>.
\nNo lan\u00e7amento de um dado com as faces numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], por exemplo, os eventos "obter um valor maior do que quatro" e "obter um valor menor do que 2" s\u00e3o mutuamente excludentes, j\u00e1 que os dois n\u00e3o podem ocorrer simultaneamente.<\/p>\n

\n

►<\/span> Os eventos que possuem apenas um resultado do experimento s\u00e3o chamados de eventos elementares<\/strong> ou eventos simples<\/strong>; esses eventos s\u00e3o os subconjuntos unit\u00e1rios do espa\u00e7o amostral. Assim, cada evento elementar \u00e9 formado por um \u00fanico ponto amostral.
\n Os eventos [tex]E_2[\/tex], [tex]E_3[\/tex], [tex]E_4[\/tex], [tex]E_6[\/tex] e [tex]E_7[\/tex] dos nossos exemplos de experimentos s\u00e3o todos elementares. No lan\u00e7amento de um dado, cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], temos seis eventos elementares: [tex]\\{1\\}[\/tex], [tex]\\{2\\}[\/tex], [tex]\\{3\\}[\/tex], [tex]\\{4\\}[\/tex], [tex]\\{5\\}[\/tex] e [tex]\\{6\\}[\/tex]. No Sorteio da Mega-Sena, cada cart\u00e3o com seis n\u00fameros que pode ser apostado \u00e9 um exemplo de um evento elementar.\n<\/div>\n

\n

Observe que, como os eventos s\u00e3o conjuntos, podemos definir opera\u00e7\u00f5es entre eles.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, dados dois eventos podemos utilizar opera\u00e7\u00f5es entre conjuntos de modo a criar novos eventos, como mostramos abaixo.<\/p>\n

\n

\n

Composi\u00e7\u00e3o de eventos <\/em><\/p>\n

\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] eventos de um mesmo experimento aleat\u00f3rio.<\/p>\n

\n

►<\/span> O conjunto [tex]A \\cup B\\;[\/tex] indica um evento que ocorre<\/strong> se e somente se pelo menos um dos dois eventos, [tex]A[\/tex] ou [tex]B[\/tex], ocorre.<\/p>\n

\n

►<\/span> O conjunto [tex]A \\cap B\\;[\/tex] indica um evento que ocorre<\/strong> se e somente se os dois eventos, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], ocorrem simultaneamente.
\n– Usando essa simbologia, podemos dizer que os eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o mutuamente excludentes quando [tex]A \\cap B=\\emptyset [\/tex]. <\/span><\/p>\n

\n

►<\/span> O conjunto [tex]A-B\\;[\/tex] indica um evento que ocorre<\/strong> se e somente se [tex]A[\/tex] ocorre, mas [tex]B[\/tex] n\u00e3o ocorre.<\/p>\n

\n

►<\/span> O evento complementar de um evento [tex]A[\/tex], que indicamos por [tex]\\overline{A}[\/tex] ou [tex]A^C[\/tex], \u00e9 o conjunto formado por todos os resultados do experimento que n\u00e3o pertencem a [tex]A[\/tex]. Assim, [tex]\\overline{A}[\/tex] ocorre<\/strong> se e somente se [tex]A[\/tex] n\u00e3o ocorre.<\/p>\n

\n

Se [tex]A_1,A_2,\\cdots,A_n[\/tex] s\u00e3o eventos de um mesmo experimento aleat\u00f3rio, podemos generalizar as duas combina\u00e7\u00f5es iniciais de eventos.
\n►<\/span> A uni\u00e3o [tex]A_1\\cup A_2\\cup \\cdots \\cup A_n\\;[\/tex], que pode ser simbolizada por [tex] {\\textstyle \\bigcup\\limits_{i=1}^n} A_i[\/tex], indica um evento que ocorre quando pelo menos um dos eventos [tex]A_i[\/tex] ocorrer.
\n►<\/span> A interse\u00e7\u00e3o [tex]A_1\\cap A_2\\cap \\cdots \\cap A_n\\;[\/tex], que pode ser simbolizada por [tex] {\\textstyle \\bigcap\\limits_{i=1}^n} A_i[\/tex], indica um evento que ocorre quando todos os eventos [tex]A_i[\/tex] ocorrerem.\n<\/div>\n

\n

Para ver alguns exemplos de eventos definidos a partir de outros eventos, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\n◊<\/span><\/strong> Escolhendo-se ao acaso um n\u00famero inteiro de [tex]1[\/tex] a [tex]7[\/tex] podemos definir estes dois eventos:
\n[tex]\\qquad \\qquad A_1[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 \u00edmpar";
\n[tex]\\qquad \\qquad A_2[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 primo".
\nAssim, [tex]A_1=\\{1,3,5,7\\}\\,[\/tex], [tex]A_2=\\{2,3,5,7\\}\\,[\/tex] e, utilizando as opera\u00e7\u00f5es entre conjuntos, podemos nos referir aos seguintes eventos:
\n[tex]\\qquad \\qquad A_1 \\cup A_2[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 \u00edmpar ou primo", ou seja, [tex]A_1 \\cup A_2 = \\{1, 2, 3 , 5,7\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\qquad A_1 \\cap A_2[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 \u00edmpar e primo", ou seja, [tex]A_1 \\cap A_2 = \\{3 , 5, 7\\}[\/tex].<\/div>\n
\n◊<\/span><\/strong> Considere o seguinte experimento aleat\u00f3rio: Um n\u00famero \u00e9 sorteado entre os [tex]200[\/tex] primeiros n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]200.[\/tex]
\nPara esse evento, podemos definir a seguinte sequ\u00eancia de eventos para qualquer [tex]i\\in \\{1,2,3,4,5\\}[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\qquad A_i:[\/tex] ocorr\u00eancia de um n\u00famero maior do que [tex]2i[\/tex].
\nAssim:
\n[tex]\\qquad A_1=\\{3,4,5, \\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_2=\\{5,6,7,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_3=\\{7,8,9,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_4=\\{9,10,11,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_5=\\{11,12,13,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad {\\textstyle \\bigcup\\limits_{i=1}^5} A_i=\\{3,4,5, \\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad {\\textstyle \\bigcap\\limits_{i=1}^5} A_i=\\{11,12,13, \\cdots,200\\}[\/tex];\n<\/div>\n
\n◊<\/span><\/strong> Vamos retomar o exemplo inicial (4): Lan\u00e7amento de uma moeda e observa\u00e7\u00e3o da face voltada para cima quando ela estiver em repouso sobre uma superf\u00edcie.
\nEspa\u00e7o Amostral:<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\Omega_4 = \\{cara , coroa\\}[\/tex]
\n\u00c9 poss\u00edvel definir os seguintes eventos<\/strong> para este experimento:
\n[tex]\\qquad E_1 = \\emptyset[\/tex]
\n[tex]\\qquad E_2 = \\{cara\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad E_3 = \\{coroa\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad E_4 = \\{cara, coroa\\}[\/tex]
\nAlgumas considera\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Podemos garantir que listamos todos os eventos do experimento, j\u00e1 que um conjunto com [tex]n[\/tex] elementos possui [tex]2^n[\/tex] subconjuntos.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] Os eventos [tex]E_2[\/tex] e [tex]E_3[\/tex] s\u00e3o disjuntos e um \u00e9 o complementar do outro.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] O evento [tex]E_1[\/tex] por n\u00e3o possuir elemento \u00e9 dito evento imposs\u00edvel.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] O evento [tex]E_4[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio espa\u00e7o amostral e por isso \u00e9 um evento certo.<\/div>\n
\n◊<\/span><\/strong> Retomando o exemplo (1): Lan\u00e7amento de um dado com as faces numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex] e observa\u00e7\u00e3o da numera\u00e7\u00e3o na face voltada para cima quando o dado estiver em repouso sobre uma superf\u00edcie.
\nEspa\u00e7o amostral:<\/strong>
\nAqui, podemos definir os seguintes Eventos<\/strong>:
\n[tex]\\qquad \\Omega_1 = \\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]A[\/tex]: "o resultado foi par" , ou seja, [tex]A = \\{2 , 4 , 6\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]B[\/tex]: "o resultado foi \u00edmpar", ou seja, [tex]B = \\{1 , 3 , 5\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]C[\/tex]: "o resultado foi maior do que 4", ou seja, [tex]C = \\{5 , 6\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]D[\/tex]: "o resultado foi par ou maior do que 4", ou seja, [tex]D = A \\cup C= \\{2 , 4 , 5 , 6\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]E[\/tex]: "o resultado foi par e maior do que 4", ou seja, [tex]E = A \\cap C = \\{6\\}[\/tex].
\nAlgumas considera\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Listamos apenas alguns dos [tex]2^6 = 64[\/tex] eventos existentes.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] O evento [tex]B[\/tex] \u00e9 o complementar de [tex]A[\/tex], pois [tex]\\Omega_1 \u2013 A = B[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] O evento [tex]A[\/tex] \u00e9 o complementar de [tex]B[\/tex], pois [tex]\\Omega_1 \u2013 B = A[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] Os eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o mutuamente excludentes, pois [tex]A \\cap B = \\emptyset[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(v)}[\/tex] O evento [tex]E[\/tex] \u00e9 um evento elementar, pois possui apenas [tex]6[\/tex] como elemento.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
\n

A chance de um evento ocorrer<\/p>\n

\n

Em experimentos aleat\u00f3rios, embora n\u00e3o saibamos que evento ir\u00e1 ocorrer, podemos prever que alguns eventos t\u00eam mais chances de ocorrer do que outros. Por exemplo em um lan\u00e7amento de um dado n\u00e3o viciado, cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], e a verifica\u00e7\u00e3o da numera\u00e7\u00e3o da face voltada para cima, se compararmos as chances de ocorrerem os seguintes eventos:
\n[tex]\\qquad D_1:[\/tex] obter um n\u00famero menor do que seis;
\n[tex]\\qquad D_2:[\/tex] obter o n\u00famero seis;
\npodemos concluir que, embora n\u00e3o seja imposs\u00edvel que [tex]D_2[\/tex] ocorra, a chance de ocorr\u00eancia do evento [tex]D_1[\/tex] \u00e9 maior.
\nVamos ent\u00e3o olhar os experimentos aleat\u00f3rios sob um ponto de vista quantitativo e tentar associar a cada evento de um experimento aleat\u00f3rio n\u00fameros que nos deem uma indica\u00e7\u00e3o da chance de ocorr\u00eancia desse evento quando o experimento em quest\u00e3o for realizado repetidas vezes, nas mesmas condi\u00e7\u00f5es<\/strong>. Lembramos que nesta nossa conversa trataremos apenas de experimentos aleat\u00f3rios cujos espa\u00e7os amostrais s\u00e3o conjuntos finitos, como os mostrados nos nossos exemplos anteriores.<\/span> <\/p>\n

\n

Frequ\u00eancia Relativa <\/em><\/p>\n

\n

\n

Uma maneira, digamos, pr\u00e1tica de atribuir a um evento [tex]E[\/tex] um n\u00famero que avalie as chances de ocorr\u00eancia desse evento \u00e9 determinar o que definiremos como a frequ\u00eancia relativa de [tex]E.[\/tex]<\/p>\n

\n

\nConsidere um experimento aleat\u00f3rio cujo espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] \u00e9 finito.
\nSuponhamos que esse experimento seja repetido [tex]N[\/tex] vezes, nas mesmas condi\u00e7\u00f5es, e nestas o evento [tex]E[\/tex] ocorra exatamente [tex]m[\/tex] vezes, [tex]m\\leqslant N[\/tex].
\nEnt\u00e3o, a frequ\u00eancia relativa de vezes que o evento [tex]E[\/tex] ocorreu, ou simplesmente a frequ\u00eancia relativa de [tex]E[\/tex]<\/strong><\/span>, \u00e9 denotada por [tex]f(E)[\/tex] e assim definida:<\/p>\n

[tex]\\boxed{\\textcolor{#8b4513}{f(E)=\\dfrac{\\,m\\,}{N}}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o importante:<\/strong> Como [tex]0 \\leqslant m\\leqslant N[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{0 \\leqslant f(E) \\leqslant 1}\\,.[\/tex]
\nAssim, quando for necess\u00e1rio utilizar porcentagem para expressar uma frequ\u00eancia relativa, lembre-se de multiplicar o resultado da divis\u00e3o [tex]\\dfrac{\\,m\\,}{N}[\/tex] por [tex]100[\/tex], ou de utilizar uma regra de tr\u00eas.\n<\/div>\n

\n

A frequ\u00eancia relativa de um evento pode sempre ser calculada, mas para que a frequ\u00eancia relativa de um evento [tex]E[\/tex] mostre, de fato, a chance de [tex]E[\/tex] ocorrer, o experimento aleat\u00f3rio ao qual o evento est\u00e1 associado deve ser repetido muitas vezes. Isso porque somente se o experimento se repetir um n\u00famero muito grande de vezes \u00e9 que a frequ\u00eancia relativa de um evento se estabilizar\u00e1 pr\u00f3xima de algum n\u00famero.
\nDessa forma, n\u00e3o \u00e9 porque voc\u00ea fez quatro lan\u00e7amentos de uma moeda e obteve tr\u00eas caras e apenas uma coroa que, em um lan\u00e7amento qualquer, a chance de se obter cara \u00e9 [tex]\\dfrac{3}{4}[\/tex] ([tex]75\\%[\/tex]) e a chance de se obter coroa \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex] ([tex]25\\%[\/tex]).<\/p>\n

\nExemplos cl\u00e1ssicos de frequ\u00eancia relativa se estabilizando pr\u00f3ximo a um n\u00famero ocorreram com o lan\u00e7amento de uma moeda honesta: s\u00e3o os experimentos hist\u00f3ricos feitos pelo cientista franc\u00eas Georges Louis Leclerc<\/em> – Conde de Buffon<\/em> (1707 – 1788); pelo estat\u00edstico ingl\u00eas Karl Pearson<\/em> (1857-1936) e pelo matem\u00e1tico ingl\u00eas John Edmund Kerrich<\/em> (1903-1985).
\nVimos que a experi\u00eancia de se lan\u00e7ar uma moeda honesta e verificar a face voltada para cima, depois da queda, tem como espa\u00e7o amostral o conjunto [tex]\\{[\/tex]cara , coroa[tex]\\}[\/tex]. Intuitivamente, espera-se que a frequ\u00eancia relativa aos eventos "obter cara" e "obter coroa" seja de [tex]50\\%[\/tex] cada, ou seja, metade dos lan\u00e7amentos obtemos cara e a outra metade, coroa. Observem:<\/p>\n
►<\/span> Buffon<\/strong><\/em> jogou uma moeda [tex]4\\,040[\/tex] vezes e obteve [tex]2\\,048[\/tex] caras; o que resulta em uma frequ\u00eancia relativa de [tex]\\dfrac{2048}{4040}\\approx 0,5069[\/tex], ou seja, aproximadamente [tex]50,69\\%[\/tex] de caras.<\/p>\n

\n

►<\/span> Pearson <\/strong><\/em> jogou uma moeda [tex]24\\,000[\/tex] vezes e obteve [tex]12\\,012[\/tex] caras; o que resulta em uma frequ\u00eancia relativa de [tex]\\dfrac{12012}{24000}= 0,5005[\/tex], ou seja, [tex]50,05\\%[\/tex] de caras.<\/p>\n

\n

►<\/span> Kerrich <\/strong><\/em> jogou uma moeda [tex]10\\,000[\/tex] vezes e obteve [tex]5\\,067[\/tex] caras; o que resulta em uma frequ\u00eancia relativa de [tex]\\dfrac{5067}{10000}= 0,5067[\/tex], ou seja, [tex]50,67\\%[\/tex] de caras.<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
\n
\n
\n
\n
\n

Probabilidade Cl\u00e1ssica <\/em><\/p>\n

\n

\n

Para n\u00e3o dependermos exclusivamente da repeti\u00e7\u00e3o de um experimento com a finalidade de obtermos a chance de ocorr\u00eancia de um evento, vamos apresentar um procedimento te\u00f3rico cuja utiliza\u00e7\u00e3o depende de alguns cuidados. O mais importante \u00e9 observar com aten\u00e7\u00e3o o tipo de espa\u00e7o amostral no qual esse procedimento pode ser utilizado.<\/p>\n

\n

\nConsideremos um espa\u00e7o amostral finito [tex]\\Omega=\\{a_1,a_2,\\cdots,a_k\\}\\,.[\/tex]
\nA cada evento elementar [tex]\\{a_i\\}[\/tex] vamos associar um n\u00famero real [tex]p_i[\/tex], denominado probabilidade do evento <\/strong> [tex]\\{a_i\\}[\/tex]<\/span> ou probabilidade de ocorr\u00eancia do ponto amostral <\/strong> [tex]a_i\\,[\/tex]<\/span>, que satisfaz as seguintes condi\u00e7\u00f5es:
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#8b4513}{\\textbf{(i)}}[\/tex] [tex]0 \\leqslant p_i \\leqslant 1\\,,\\;\\forall i\\in \\{1,2,\\cdots,k\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#8b4513}{\\textbf{(ii)}}[\/tex] [tex]p_1+p_2+\\cdots+p_k=1\\,[\/tex].
\nParticularmente, se [tex]p_1=p_2=\\cdots=p_k[\/tex], diremos que o espa\u00e7o [tex]\\Omega[\/tex] \u00e9 equiprov\u00e1vel<\/strong><\/span>. Portanto, espa\u00e7os equiprov\u00e1veis s\u00e3o aqueles cujos pontos amostrais t\u00eam a mesma probabilidade de ocorrer. Nesse caso, se [tex]p[\/tex] for essa probabilidade, segue de [tex]\\textcolor{#8b4513}{\\textbf{(ii)}}[\/tex] que:
\n[tex]\\qquad \\underbrace{p+p+\\cdots+p}_{k\\text{ vezes}}=1\\\\
\n\\qquad k\\cdot p=1\\\\
\n\\qquad p=\\dfrac{1}{k}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

\nPara espa\u00e7os amostrais equiprov\u00e1veis, podemos definir n\u00fameros que traduzam nossa expectativa de ocorr\u00eancia de seus eventos. De agora em diante, o n\u00famero que indica a chance de ocorr\u00eancia de um evento [tex]E[\/tex] ser\u00e1 denominado probabilidade de [tex]E[\/tex] e ser\u00e1 denotado por [tex]P(E)\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica de probabilidade<\/strong><\/p>\n

Suponha um experimento aleat\u00f3rio cujo espa\u00e7o amostral \u00e9 finito e equiprov\u00e1vel<\/strong>. Se [tex]E[\/tex] \u00e9 um evento qualquer do espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] desse experimento aleat\u00f3rio, a probabilidade do evento [tex]E[\/tex] ocorrer<\/strong><\/span>, ou simplesmente a probabilidade do evento [tex]E[\/tex]<\/strong><\/span>, \u00e9 definida como a raz\u00e3o entre o n\u00famero de elementos de [tex]E[\/tex] e n\u00famero de elementos de [tex] \\Omega[\/tex]. Em s\u00edmbolos, <\/p>\n

[tex] P(E)=\\dfrac{n(E)}{n(\\Omega)}[\/tex], <\/p>\n

sendo [tex]n(E)[\/tex] o n\u00famero de elementos do evento e [tex]n(\\Omega)[\/tex] o n\u00famero de elementos do espa\u00e7o amostral.
\nInformalmente, podemos dizer que a probabilidade de um evento \u00e9 o n\u00famero de casos favor\u00e1veis dividido pelo n\u00famero de casos poss\u00edveis:
\n\"\"
\nObserva\u00e7\u00e3o importante:<\/strong> Como [tex]E \\subset \\Omega[\/tex], ent\u00e3o [tex]n(E) \\leqslant n(\\Omega)[\/tex]. Assim, [tex]\\boxed{0 \\leqslant P(E) \\leqslant 1}\\,.[\/tex]
\nAssim, quando for necess\u00e1rio utilizar porcentagem para expressar uma probabilidade, lembre-se de multiplicar o resultado da divis\u00e3o [tex]\\dfrac{n(E)}{n(\\Omega)}[\/tex] por [tex]100[\/tex] ou de utilizar uma regra de tr\u00eas.\n<\/div>\n

\n

Vejamos alguns c\u00e1lculos utilizando, mais uma vez, os nossos exemplos.
\n►<\/span> No caso do lan\u00e7amento de um dado, exemplo (1), quando queremos saber qual a chance de o resultado obtido ser par, estamos buscando estabelecer qual a probabilidade do evento [tex]E_1=\\{2 , 4 , 6\\}[\/tex] ocorrer:
\n[tex]\\qquad \\qquad P(E_1)=\\dfrac{n(E_1)}{n(\\Omega_1)}=\\dfrac{3}{6}=\\dfrac{1}{2}=0,5.[\/tex]<\/p>\n

\n

Percentualmente, [tex]P(E_1)=50\\%.[\/tex]
\n►<\/span> Retirada uma carta de um baralho completo, exemplo (7), a probabilidade de o seu naipe ser paus \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\qquad P(E_7)=\\dfrac{n(E_7)}{n(\\Omega_7)}=\\dfrac{1}{4}=0,25.[\/tex]<\/p>\n

\n

Percentualmente, [tex]P(E_7)=25\\%.[\/tex]
\n►<\/span> A probabilidade de se retirar uma bola com numera\u00e7\u00e3o acima de [tex]45[\/tex] de uma urna com [tex]50[\/tex] bolas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]50[\/tex], exemplo (5), \u00e9:
\n[tex]\\qquad \\qquad P(E_5)=\\dfrac{n(E_5)}{n(\\Omega_5)}=\\dfrac{5}{50}=\\dfrac{1}{10}=0,1.[\/tex]<\/p>\n

\n

Percentualmente, [tex]P(E_5)=10\\%.[\/tex]<\/p>\n

\n

As primeiras considera\u00e7\u00f5es formais sobre esta forma de calcular a chance de ocorr\u00eancia de eventos prov\u00eam do s\u00e9culo XVII como consequ\u00eancia do estudo dos jogos de azar. O assunto aparece especificamente em trocas de correspond\u00eancias entre os matem\u00e1ticos Pierre de Fermat<\/strong><\/span><\/a> (1601 – 1665) e Blaise Pascal<\/strong><\/span><\/a> (1623 – 1662) e nos estudos do matem\u00e1tico Christiaan Huygens (1629-1695). Mas foi o o matem\u00e1tico, f\u00edsico e astr\u00f4nomo franc\u00eas Pierre Simon Laplace (1749-1827) quem primeiro apresentou formalmente a probabilidade como uma raz\u00e3o entre o n\u00famero de casos favor\u00e1veis e o n\u00famero de casos poss\u00edveis.\n<\/div>\n

\n
\n
\n

Probabilidades<\/p>\n

\n

De maneira geral, a frequ\u00eancia relativa utilizada para medir a chance de ocorr\u00eancia de um evento \u00e9 denominada probabilidade frequencial. Assim, apresentamos a voc\u00ea duas das v\u00e1rias maneiras de se definir probabilidade<\/strong>:
\n►<\/span> o modelo frequencial <\/strong>ou frequentista<\/strong>, que utiliza a frequ\u00eancia relativa de um evento para medir a sua chance de ocorrer;
\n►<\/span> o modelo equiprobabil\u00edstico<\/strong>, que utiliza a defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica de probabilidade de um evento para medir a sua chance de ocorrer.
\nUm terceiro modelo para o estudo de probabilidade \u00e9 o modelo axiom\u00e1tico<\/strong>, que n\u00e3o ser\u00e1 tratado aqui. O modelo axiom\u00e1tico generaliza os v\u00e1rios modelos de probabilidade.
\nDe qualquer forma, a probabilidade \u00e9 o n\u00famero que associamos a um evento com a finalidade de estimar a chance de ele acontecer como resultado de um experimento aleat\u00f3rio. Bom, nesse momento da nossa conversa voc\u00ea poder\u00e1 estar com a seguinte d\u00favida: <\/p>\n

Probabilidade mede a chance de um evento acontecer e temos duas defini\u00e7\u00f5es de probabilidade.
\nEnt\u00e3o, qual \u00e9 a chance: o n\u00famero dado pela frequ\u00eancia relativa ou o dado pela probabilidade cl\u00e1ssica?<\/strong><\/p>\n

\n

"Frequ\u00eancia relativa"<\/em> X "Probabilidade Cl\u00e1ssica" <\/em><\/p>\n

\n

\n

Quando introduzimos a no\u00e7\u00e3o de frequ\u00eancia relativa, observamos que:<\/p>\n

A frequ\u00eancia relativa de um evento pode sempre ser calculada, mas para que a frequ\u00eancia relativa de um evento [tex]E[\/tex] mostre, de fato, a chance de [tex]E[\/tex] ocorrer, o experimento aleat\u00f3rio ao qual o evento est\u00e1 associado deve ser repetido muitas vezes. Isso porque somente se o experimento se repetir um n\u00famero muito grande de vezes \u00e9 que a frequ\u00eancia relativa de um evento se estabilizar\u00e1 pr\u00f3xima de algum n\u00famero.<\/p>\n

Pois bem, em espa\u00e7os amostrais finitos e equiprov\u00e1veis, o n\u00famero ao qual a frequ\u00eancia relativa de um evento se estabilizar\u00e1 pr\u00f3xima \u00e9 a chamada probabilidade cl\u00e1ssica: a raz\u00e3o entre o n\u00famero de elementos do evento e o n\u00famero de elementos do espa\u00e7o amostral.
\nMatematicamente falando, "a estimativa da probabilidade de um evento [tex]E[\/tex] por frequ\u00eancia relativa \u00e9 cada vez mais pr\u00f3xima da chamada probabilidade cl\u00e1ssica do evento [tex]E[\/tex], quando o n\u00famero [tex]N[\/tex] de repeti\u00e7\u00f5es do experimento tender ao infinito<\/strong>".
\nEssa aproxima\u00e7\u00e3o provoca uma observa\u00e7\u00e3o interessante, que inclusive serve para renomear a frequ\u00eancia relativa e a probabilidade cl\u00e1ssica, j\u00e1 que, n\u00e3o raramente, a probabilidade cl\u00e1ssica e a frequ\u00eancia relativa s\u00e3o, respectivamente, denominadas de probabilidade "a priori<\/em><\/strong>"<\/span> e probabilidade "a posteriori<\/em><\/strong>"<\/span> uma vez que a primeira \u00e9 obtida antes <\/strong> at\u00e9 de um experimento acontecer e a segunda \u00e9 obtida ap\u00f3s <\/strong>v\u00e1rias realiza\u00e7\u00f5es do experimento.
\nNo que se segue, o n\u00famero que indica a chance de ocorr\u00eancia de um evento [tex]E[\/tex] ser\u00e1 tratado como probabilidade de [tex]E[\/tex] e ser\u00e1 denotado por [tex]P(E)\\,[\/tex], independentemente de esse n\u00famero ser uma probabilidade frequencial ou uma probabilidade cl\u00e1ssica.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Existem v\u00e1rias propriedades que ajudam bastante na hora de resolvermos alguns problemas de probabilidade. Vamos apresentar, a seguir, algumas delas. (Aqui n\u00e3o nos preocuparemos com as demonstra\u00e7\u00f5es; isso ser\u00e1 feito em outra Sala!)<\/span><\/p>\n

\n

\n

Algumas propriedades das probabilidades <\/em><\/p>\n

\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] eventos de um mesmo experimento aleat\u00f3rio cujo espa\u00e7o amostral seja finito e os eventos elementares sejam igualmente "prov\u00e1veis".
\nEnt\u00e3o:
\n►<\/span> [tex]P(\\emptyset) = 0[\/tex].
\n►<\/span> [tex]P(\\overline{A}) = 1 \u2013 P(A)[\/tex]. (Essa \u00e9 a probabilidade do evento [tex]A[\/tex] n\u00e3o ocorrer.)
\n►<\/span> Se [tex]A \\subset B[\/tex], ent\u00e3o [tex]P(A) = P(B) \u2013 P(B \u2013 A)[\/tex].
\n►<\/span> Se [tex]A \\subset B[\/tex], ent\u00e3o [tex]P(A) \\leqslant P(B)[\/tex].
\n►<\/span> [tex]P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \u2013 P(A \\cap B)[\/tex].
\n►<\/span> Se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] forem mutuamente excludentes, ou disjuntos, ent\u00e3o [tex]P\\left(A\\cup B\\right)=P\\left(A\\right)+P\\left( B\\right)[\/tex].\n<\/div>\n

\nVamos considerar o exemplo inicial (5) para fazermos algumas aplica\u00e7\u00f5es dessas propriedades.
\nPara ver essas aplica\u00e7\u00f5es, clique no bot\u00e3o abaixo e, ap\u00f3s a leitura, n\u00e3o se esque\u00e7a de ocultar o material, para n\u00e3o sobrecarregar o visual! <\/p>\n

\n <\/p>\n
\n◊<\/span> Experimento:<\/strong> A retirada de uma bola de uma urna com [tex]50[\/tex] bolas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]50[\/tex] e observa\u00e7\u00e3o de seu n\u00famero.
\nEspa\u00e7o Amostral:<\/strong> [tex]\\Omega_5 = \\{1,2,3,4,\\cdots,49,50\\}[\/tex]
\nVamos definir alguns eventos<\/strong> para este experimento:
\n[tex]\\qquad A:[\/tex] Observar um m\u00faltiplo de [tex]6[\/tex] e de [tex]9[\/tex] simultaneamente.
\n[tex]\\qquad B:[\/tex] Observar um m\u00faltiplo de [tex]6[\/tex] ou de [tex]9[\/tex].
\n[tex]\\qquad C:[\/tex] Observar um m\u00faltiplo de [tex]40[\/tex].
\n[tex]\\qquad D:[\/tex] Observar um n\u00famero que n\u00e3o seja m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex].
\n[tex]\\qquad E:[\/tex] Observar um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex] e de [tex]9[\/tex] simultaneamente.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Um m\u00faltiplo simult\u00e2neo de [tex]6[\/tex] e [tex]9[\/tex] \u00e9 necessariamente um m\u00faltiplo do [tex]mmc(6,9)[\/tex], ou seja, um m\u00faltiplo de [tex]18[\/tex].
\nLogo, [tex]A=\\{18,36\\}[\/tex] e, portanto, [tex]P(A) = \\dfrac{2}{50}=\\dfrac{1}{25}.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex]<\/strong> Observe que [tex]B=B_1\\cup B_2[\/tex], sendo [tex]B_1[\/tex] o conjunto dos m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] e [tex]B_2[\/tex] o conjunto dos m\u00faltiplos de [tex]9.[\/tex]
\nDessa forma:
\n[tex]\\qquad B_1=\\{6,12,18,24,30,36,42,48\\}\\;[\/tex], com [tex]\\;P(B_1)= \\dfrac{8}{50}=\\dfrac{4}{25}[\/tex];
\n[tex]\\qquad B_2=\\{9,18,27,36,45\\}\\;[\/tex], com [tex]\\;P(B_2)= \\dfrac{5}{50}=\\dfrac{1}{10}[\/tex]
\n[tex]\\qquad [\/tex]e [tex]B_1\\cap B_2=A[\/tex];
\nlogo:
\n[tex]\\quad P\\left(B\\right)=P\\left(B_1\\cup B_2\\right)\\\\
\n\\quad P\\left(B\\right)=P\\left(B_1\\right)+P\\left(B_2\\right)-P\\left(B_1\\cap B_2\\right)\\\\
\n\\quad P\\left(B\\right)=\\dfrac{4}{25}+\\dfrac{1}{10}-P\\left(A\\right)\\\\
\n\\quad P\\left(B\\right)=\\dfrac{4}{25}+\\dfrac{1}{10}-\\dfrac{1}{25}\\\\
\n\\quad P\\left(B\\right)=\\dfrac{11}{50}.[\/tex]
\nPoder\u00edamos tamb\u00e9m calcular essa probabilidade construindo a uni\u00e3o [tex]B=B_1\\cup B_2:[\/tex]
\n[tex]\\qquad B_1\\cup B_2=\\{6,9,12,18,24,27,30,36,42,45,48\\}[\/tex]
\ne concluir igualmente que [tex]\\,P\\left(B\\right)=\\dfrac{11}{50}.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] Observe que [tex]C[\/tex] \u00e9 o conjunto unit\u00e1rio [tex]\\{40\\}[\/tex]. Assim, [tex]C[\/tex] \u00e9 um evento elementar e [tex]P(C)=\\dfrac{1}{50}.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] Se considerarmos [tex]D_1[\/tex] o conjunto dos m\u00faltiplos de [tex]10[\/tex], ent\u00e3o [tex]P(D)[\/tex] \u00e9 a probabilidade do evento [tex]D_1[\/tex] n\u00e3o ocorrer, ou seja, [tex]P(D)=P(\\overline{D_1}) = 1 \u2013 P(D_1)[\/tex]. Observe que \u00e9 mais r\u00e1pido construirmos o conjunto [tex]D_1[\/tex]:
\n[tex]\\qquad D_1=\\{10,20,30,40,50\\}[\/tex];
\nassim:
\n[tex]\\quad P(D)=P(\\overline{D_1})\\\\
\n \\quad P(D)= 1 \u2013 P(D_1)=1-\\dfrac{5}{50}\\\\
\n\\quad P(D)= \\dfrac{45}{50}=\\dfrac{9}{10}[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(v)}[\/tex] Um m\u00faltiplo simult\u00e2neo de [tex]7[\/tex] e [tex]9[\/tex] \u00e9 necessariamente um m\u00faltiplo do [tex]mmc(7,9)[\/tex], que \u00e9 [tex]63[\/tex]. Mas observe que o primeiro m\u00faltiplo n\u00e3o nulo de [tex]63[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio [tex]63[\/tex] e n\u00e3o temos na urna uma bola numerada com [tex]63.[\/tex]
\nAssim, [tex]E=\\emptyset[\/tex] e, portanto, [tex]P\\left(E\\right)=0.[\/tex]<\/div>\n<\/div>\n

\nPrecisa de mais exemplos?<\/strong>
\nEnt\u00e3o, clique no bot\u00e3o abaixo e lembre-se de que, antes de sair aplicando propriedades, voc\u00ea tem que se preocupar com a defini\u00e7\u00e3o correta do espa\u00e7o amostral do experimento que voc\u00ea est\u00e1 analisando.
\nSe o espa\u00e7o amostral for equiprov\u00e1vel, voc\u00ea tamb\u00e9m ter\u00e1 que contar os casos prov\u00e1veis e os casos poss\u00edveis; para isso, Diagramas de Venn<\/strong><\/span><\/a> e o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong><\/span><\/a> podem ajudar!\n<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n◊<\/span> Exemplo 1:<\/strong> Um estudo realizado pelo setor de recursos humanos de uma empresa mostrou que [tex]35\\%[\/tex] dos funcion\u00e1rios sa\u00edram da empresa porque estavam insatisfeitos com seus sal\u00e1rios, [tex]22\\%[\/tex] porque consideraram que a empresa n\u00e3o possibilitava o crescimento profissional e [tex]16\\%[\/tex] indicaram insatisfa\u00e7\u00e3o tanto com o sal\u00e1rio como com a impossibilidade de crescimento profissional.
\nQual \u00e9 a probabilidade de um funcion\u00e1rio sair desta empresa devido a insatisfa\u00e7\u00e3o com o sal\u00e1rio ou insatisfa\u00e7\u00e3o com sua impossibilidade de crescimento profissional?
\nSe considerarmos os eventos:
\n[tex]\\qquad S:[\/tex] O funcion\u00e1rio sai da empresa em raz\u00e3o do sal\u00e1rio;
\n[tex]\\qquad I:[\/tex] O funcion\u00e1rio sai da empresa em raz\u00e3o da impossibilidade de crescimento profissional;
\npara responder \u00e0 pergunta do problema precisamos determinar [tex]P(S \\cup I)[\/tex].
\nObserve que [tex]P(S)=0,35[\/tex]; [tex]P(I)=0,22[\/tex] e [tex]P(S\\cap I)=0,16[\/tex], assim, segue que:
\n[tex]\\qquad P(S \\cup I)=P(S)+P(I)\u2013P(S \\cap I)\\\\
\n\\qquad P(S \\cup I)=0,35+0,22-0,16\\\\
\n\\qquad P(S \\cup I)=0,41.[\/tex]
\nLogo, estima-se que [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$41\\%$}\\,[\/tex] dos funcion\u00e1rios deixam a empresa devido \u00e0 insatisfa\u00e7\u00e3o tanto com o sal\u00e1rio como com a impossibilidade de crescimento profissional.<\/p>\n

\n

◊<\/span> Exemplo 2:<\/strong> Considere o lan\u00e7amento simult\u00e2neo de dois dados honestos e com as respectivas faces numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex]. Calcular a probabilidade de:
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Obter soma [tex]6[\/tex];
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] Obter soma maior que [tex]10[\/tex];
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] Que o n\u00famero mostrado no primeiro dado seja superior ao n\u00famero do segundo.
\nEspa\u00e7o Amostral do experimento:<\/strong> Pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong> temos [tex]6\\times 6=36[\/tex] resultados poss\u00edveis.
\nSe representarmos por [tex](p,s) [\/tex] o n\u00famero [tex]p[\/tex] e o n\u00famero [tex]s[\/tex] obtidos com um lan\u00e7amento dos dois dados, s\u00e3o estes os poss\u00edveis resultados:<\/p>\n

[tex]\\qquad (1,1)\\quad (1,2)\\quad (1,3)\\quad (1,4)\\quad (1,5)\\quad (1,6)\\\\
\n\\qquad(2,1)\\quad (2,2)\\quad (2,3)\\quad (2,4)\\quad (2,5)\\quad (2,6)\\\\
\n\\qquad(3,1)\\quad (3,2)\\quad (3,3)\\quad (3,4)\\quad (3,5)\\quad (3,6)\\\\
\n\\qquad(4,1)\\quad (4,2)\\quad (4,3)\\quad (4,4)\\quad (4,5)\\quad (4,6)\\\\
\n\\qquad(5,1)\\quad (5,2)\\quad (5,3)\\quad (5,4)\\quad (5,5)\\quad (5,6)\\\\
\n\\qquad(6,1)\\quad (6,2)\\quad (6,3)\\quad (6,4)\\quad (6,5)\\quad (6,6)\\,.[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Para obter soma [tex]6[\/tex], devemos obter um dos seguintes resultados:
\n[tex] \\qquad (1,5) \\quad (2,4)\\quad(3,3)\\quad (4,2)\\quad (5,1)\\,[\/tex];
\nassim, a probabilidade de obtermos soma igual a [tex]6[\/tex] \u00e9 de:[tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_i=\\dfrac{5}{36}$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$14\\%$}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] Seja [tex]A[\/tex] o evento de se obter soma maior que [tex]10[\/tex]. Ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad A=\\{(5,6)\\,;\\,(6,5)\\,;\\, (6,6)\\}[\/tex]
\nE, portanto, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{ii}=P(A)=\\dfrac{3}{36}=\\dfrac{1}{12}$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$8\\%$}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] A probabilidade de que o n\u00famero mostrado no primeiro dado seja superior ao n\u00famero do segundo \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{iii}=\\dfrac{15}{36}=\\dfrac{5}{12}$}\\,[\/tex],
\naproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$42\\%$}\\,.[\/tex] Que tal voc\u00ea conferir?<\/p>\n

\n

◊<\/span> Exemplo 3:<\/strong> Em um momento de sua carreira, Reggie Miller<\/strong><\/span><\/a>, jogador de basquete da NBA, converteu [tex]5915[\/tex] lances livres em [tex]6679[\/tex] tentativas (com base em dados da NBA). Determine a probabilidade de que o jogador Reggie Miller converta um arremesso depois de sofrer uma falta.(Exerc\u00edcio do livro \u201cIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 Estat\u00edstica, M.F. Triola\u201d)<\/span>
\nEspa\u00e7o Amostral:<\/strong>
\n[tex]\\qquad[\/tex] {Miller converte o arremesso livre ; Miller n\u00e3o converte o arremesso livre}.
\nComo o espa\u00e7o amostral \u00e9 definido por dois eventos que n\u00e3o s\u00e3o igualmente prov\u00e1veis, n\u00e3o podemos usar a probabilidade cl\u00e1ssica. Aqui podemos usar a abordagem da frequ\u00eancia relativa com os resultados passados obtidos pelo jogador.
\nAssim, a probabilidade de Miller converter o arremesso livre \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P\\left(\\text{Miller converte o arremesso livre}\\right)=\\dfrac{5915}{6679}\\approx 0,886$}\\,[\/tex],
\nou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$88,6\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

◊<\/span> Exemplo 4:<\/strong> Em um grupo de [tex]400[\/tex] alunos de uma universidade, [tex]100[\/tex] estudam Administra\u00e7\u00e3o, [tex]140[\/tex] estudam Economia e [tex]15[\/tex] estudam Administra\u00e7\u00e3o e Economia. Se um desses [tex]400[\/tex] alunos for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] ele estude Administra\u00e7\u00e3o e Economia?
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] ele estude apenas Administra\u00e7\u00e3o?
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] ele estude apenas Economia?
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] ele n\u00e3o estude Administra\u00e7\u00e3o e nem Economia?
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(v)}[\/tex] ele estude Administra\u00e7\u00e3o ou Economia?
\nConsideremos os eventos:
\nA:<\/strong> estudar Administra\u00e7\u00e3o.
\nE:<\/strong> estudar Economia.
\nVamos representar agora o espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] por um Diagrama de Venn e responder as cinco perguntas do exemplo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] A probabilidade de que o aluno escolhido ao acaso estude Administra\u00e7\u00e3o e Economia \u00e9 dada por:
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{i}=\\dfrac{15}{400}=\\dfrac{3}{80}=0,0375$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$3,8\\%$}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] A probabilidade de que o aluno escolhido ao acaso estude apenas Administra\u00e7\u00e3o \u00e9 dada por:
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{ii}=\\dfrac{85}{400}=\\dfrac{17}{80}= 0,2125$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$21,3\\%$}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] A probabilidade de que o aluno escolhido ao acaso estude apenas Economia \u00e9 dada por:
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{iii}=\\dfrac{125}{400}=\\dfrac{5}{16}= 0,3125$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$31\\%$}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] A probabilidade de que o aluno escolhido ao acaso n\u00e3o estude Administra\u00e7\u00e3o e nem Economia \u00e9 dada por:
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{iv}=\\dfrac{175}{400}=\\dfrac{7}{16}= 0,4375$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$44\\%$}\\,.[\/tex]
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(v)}[\/tex] A probabilidade de que o aluno escolhido ao acaso estude Administra\u00e7\u00e3o ou Economia \u00e9 dada por:
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$P_{iv}=\\dfrac{225}{400}=\\dfrac{9}{16}= 0,5625$}\\,[\/tex], ou seja, aproximadamente, [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#f7dcc7}{$56\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

◊<\/span> Exemplo 5:<\/strong> Os atletas [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]F[\/tex], [tex]I[\/tex], [tex]N[\/tex], [tex]R[\/tex], [tex]S[\/tex] e [tex]U[\/tex] v\u00e3o disputar uma corrida de [tex]200[\/tex] metros rasos. A probabilidade de [tex]U[\/tex] ganhar a prova \u00e9 de [tex]\\dfrac{1}{8}[\/tex]?
\nAntes de mais nada, vamos especificar que os participantes [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]F[\/tex], [tex]I[\/tex], [tex]N[\/tex], [tex]R[\/tex], [tex]S[\/tex] s\u00e3o os sete membros da Equipe dos Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP e o participante [tex]U[\/tex] \u00e9 Usain Bolt<\/strong><\/span><\/a>.
\nAlguma d\u00favida de que {[tex]U[\/tex] ganhar} \u00e9 um evento quase<\/span> certo?
\nEnt\u00e3o assista a este v\u00eddeo<\/strong><\/span><\/a>.
\nAssim, a probabilidade de [tex]U[\/tex] ganhar a prova \u00e9 "um pouquinho" maior do que [tex]\\dfrac{1}{8}[\/tex]. Aqui temos mais uma situa\u00e7\u00e3o de espa\u00e7o n\u00e3o equiprov\u00e1vel.\n<\/div>\n<\/div>\n

Finalizando, \u00e9 sempre bom lembrar que uma mesma palavra pode ter v\u00e1rios significados. Particularmente nesta Sala utilizamos a palavra chance <\/strong> com o significado que encontramos em um dicion\u00e1rio da l\u00edngua portuguesa, ou seja, como a "possibilidade de algo acontecer", como podemos ver, por exemplo, clicando AQUI<\/strong><\/span><\/a>.
\nFazemos esta observa\u00e7\u00e3o, pois em Estat\u00edstica a palavra chance pode ser definida como a raz\u00e3o entre probabilidade de um evento ocorrer e a probabilidade do evento n\u00e3o ocorrer, isto \u00e9, [tex] \\dfrac{p} {1-p}[\/tex], com [tex]p[\/tex] sendo a probabilidade de o evento em quest\u00e3o ocorrer. Assim, poder\u00edamos dizer que, neste caso, a chance seria a raz\u00e3o do esperado pelo inesperado!
\nMas isso \u00e9 assunto para outra Sala….<\/p>\n

\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/p>\n<\/div>\n

Julho de 2020.<\/p>\n

\n
\nRefer\u00eancias:<\/strong>
\n[1] A Matem\u00e1tica do Ensino M\u00e9dio<\/strong>, volume 2: Cole\u00e7\u00e3o do Professor de Matem\u00e1tica \u2013 Elon Lages Lima; Paulo Cesar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner e Augusto C\u00e9sar Morgado.
\n[2] An\u00e1lise Combinat\u00f3ria e Probabilidade<\/strong>: Cole\u00e7\u00e3o do Professor de Matem\u00e1tica \u2013 Augusto C\u00e9sar Morgado; Jo\u00e3o Bosco Pitombeira de Carvalho; Paulo Cesar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez.
\n[3] Aulete Digital<\/strong> <\/span><\/a> (\u00daltimo acesso em 15\/06\/20)
\n[4] Fundamentos de Matem\u00e1tica Elementar<\/strong>, volume 5 \u2013 Samuel Hazzan.
\n[5] Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Teoria das Probabilidades<\/strong><\/span><\/a> – Prof. Victor Hugo Lachos Davila. (\u00daltimo acesso em 15\/06\/20)
\n[6] Matem\u00e1tica<\/strong>, volume \u00fanico \u2013 Gelson Iezzi; Osvaldo Dolce; David Mauro Degenszajn; Roberto P\u00e9rigo.
\n[7] Wikipedia<\/strong><\/span><\/a> (\u00daltimo acesso em 15\/06\/20)
\n[8] YouTube<\/strong> <\/span><\/a> (\u00daltimo acesso em 15\/06\/20)\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas relativas ao estudo de probabilidade para ajud\u00e1-los com os problemas e as atividades do nosso Blog. Bom Proveito, pessoal!   Probabilidade e eventos Eventos A Teoria das Probabilidades \u00e9 o ramo da Matem\u00e1tica que fornece ferramentas para modelarmos os chamados fen\u00f4menos ou experimentos aleat\u00f3rios, isto \u00e9, aquelas a\u00e7\u00f5es … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-158513","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/158513","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=158513"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/158513\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223472,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/158513\/revisions\/223472"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=158513"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}