{"id":158084,"date":"2020-07-13T18:02:17","date_gmt":"2020-07-13T21:02:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=158084"},"modified":"2023-06-29T05:54:46","modified_gmt":"2023-06-29T08:54:46","slug":"problemao-distancia-entre-os-centros","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-distancia-entre-os-centros\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Dist\u00e2ncia entre os centros"},"content":{"rendered":"

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\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

(PAPMEM <\/strong>– IMPA)<\/span> A figura mostra um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles de lados medindo [tex]10[\/tex], [tex]10[\/tex] e [tex]12[\/tex] cent\u00edmetros e duas circunfer\u00eancias de raio [tex]1\\,\\text{cm}[\/tex] tangentes a dois lados do tri\u00e2ngulo. Calcule a medida [tex]x[\/tex] da dist\u00e2ncia entre os centros das circunfer\u00eancias. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Inicialmente, vamos construir segmentos dos centros das circunfer\u00eancias aos v\u00e9rtices do tri\u00e2ngulo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Note que a figura ficou dividida em um trap\u00e9zio [tex](CO_{1}O_{2}B)[\/tex] e tr\u00eas tri\u00e2ngulos [tex](AO_{1}O_{2}[\/tex], [tex]AO_{1}C[\/tex] e [tex]AO_{2}B)[\/tex].
\nPelo teorema de Pit\u00e1goras, podemos encontrar a altura [tex]h[\/tex] do tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles [tex]ABC[\/tex].
\n[tex]\\qquad 10^{2}=h^{2}+6^{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad h=8\\,\\text{cm}.[\/tex]
\nAssim, denotando por [tex]S_{ABC}[\/tex] a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad S_{ABC}=\\dfrac{12\\cdot 8}{2}=48\\,\\text{cm}^2.[\/tex]
\nObserve que essa mesma \u00e1rea pode ser calculada somando-se as \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]AO_{1}O_{2}[\/tex], [tex]\\,AO_{1}C\\,[\/tex] e [tex]\\,AO_{2}B[\/tex] (as quais ser\u00e3o representadas por [tex]S_{AO_{1}O_{2}}[\/tex], [tex]\\,S_{AO_{1}C}\\,[\/tex] e [tex]\\,S_{AO_{2}B}[\/tex], respectivamente) com a \u00e1rea do trap\u00e9zio [tex]CO_{1}O_{2}B[\/tex] (que ser\u00e1 representada por [tex]S_{CO_{1}O_{2}B}[\/tex]).
\nPerceba que a altura do trap\u00e9zio \u00e9 [tex]1\\,\\text{cm}[\/tex] (raio da circunfer\u00eancia) e, portanto, a altura do tri\u00e2ngulo [tex]AO_{1}O_{2}[\/tex] \u00e9 [tex]8-1=7\\,\\text{cm}[\/tex].
\n\"\"
\nDessa forma, segue que:
\n[tex]\\qquad S_{CO_{1}O_{2}B}+S_{AO_{1}O_{2}}+S_{AO_{1}C}+S_{AO_{2}B}=48\\\\
\n\\qquad \\dfrac{(12+x)\\cdot1}{2}+\\dfrac{x\\cdot7}{2}+\\dfrac{10\\cdot1}{2}+\\dfrac{10\\cdot1}{2}=48\\\\
\n\\qquad 6+4x+5+5=48\\\\
\n\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=8\\,\\text{cm}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (PAPMEM – IMPA) A figura mostra um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles de lados medindo [tex]10[\/tex], [tex]10[\/tex] e [tex]12[\/tex] cent\u00edmetros e duas circunfer\u00eancias de raio [tex]1\\,\\text{cm}[\/tex] tangentes a dois lados do tri\u00e2ngulo. Calcule a medida [tex]x[\/tex] da dist\u00e2ncia entre os centros das circunfer\u00eancias. Solu\u00e7\u00e3o Inicialmente, vamos construir segmentos … <\/p>\n

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