{"id":15742,"date":"2014-04-02T22:44:01","date_gmt":"2014-04-03T01:44:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=15742"},"modified":"2023-06-01T00:01:00","modified_gmt":"2023-06-01T03:01:00","slug":"problema-cevianas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-cevianas\/","title":{"rendered":".Problema: Cevianas"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n

\nSendo [tex]ABC[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex], [tex]\\overline{CF}[\/tex] uma mediana, [tex]\\overline{CE}[\/tex] uma bissetriz interna e [tex]\\overline{CD}[\/tex] uma altura deste tri\u00e2ngulo, prove que os \u00e2ngulos [tex]D\\hat{C}E~[\/tex] e [tex]~E\\hat{C}F[\/tex] t\u00eam a mesma medida.
\n\"img<\/div>\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

(1)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex].
\n(2)<\/strong><\/span> Todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui os \u00e2ngulos da base com mesma medida.
\n(3)<\/strong><\/span> A mediana de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo relativa \u00e0 hipotenusa mede metade da hipotenusa.
\n\"\"<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/strong><\/span><\/p>\n

\n Considere [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] as medidas, em graus, dos \u00e2ngulos [tex]B \\hat{A}C[\/tex] e [tex]C \\hat{B}A[\/tex], respectivamente.
\n\"\"
\nComo [tex]A \\hat{C}B[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto, temos que [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o medidas de \u00e2ngulos complementares ([tex]x+y=90^\\circ[\/tex]).
\nAl\u00e9m disso, [tex]B \\hat{D}C[\/tex] \u00e9 reto, sendo [tex]B \\hat{C}D[\/tex] complemento de [tex]D \\hat{B}C[\/tex]; logo, a medida do \u00e2ngulo [tex]B \\hat{C}D[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m [tex]x[\/tex].
\nSabemos que em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo a mediana relativa \u00e0 hipotenusa mede metade desta; assim, os segmentos [tex]\\overline{AF}~[\/tex] e [tex]~\\overline {FC}[\/tex] t\u00eam mesma medida. Portanto, o tri\u00e2ngulo [tex]AFC[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles e, consequentemente, os \u00e2ngulos [tex]F \\hat{A}C[\/tex] e [tex]F \\hat{C}A[\/tex] s\u00e3o congruentes e t\u00eam medida [tex]x[\/tex].
\n\"\"
\nSe [tex]\\overline{CE}[\/tex] \u00e9 bissetriz de [tex]B \\hat{C}A[\/tex], que \u00e9 um \u00e2ngulo reto, ent\u00e3o a medida dos \u00e2ngulos [tex]A \\hat{C}E~[\/tex] e [tex]~B \\hat{C}E[\/tex] \u00e9 [tex]45^\\circ[\/tex].
\nFinalmente, temos que os \u00e2ngulos [tex]E \\hat{C}F[\/tex] e [tex]D \\hat{C}E[\/tex] s\u00e3o congruentes com medidas iguais a [tex]~\\boxed{45^\\circ-x~}.[\/tex]
\n\"\"<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Sendo [tex]ABC[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo em [tex]C[\/tex], [tex]\\overline{CF}[\/tex] uma mediana, [tex]\\overline{CE}[\/tex] uma bissetriz interna e [tex]\\overline{CD}[\/tex] uma altura deste tri\u00e2ngulo, prove que os \u00e2ngulos [tex]D\\hat{C}E~[\/tex] e [tex]~E\\hat{C}F[\/tex] t\u00eam a mesma medida. Lembretes (1) A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]. … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-15742","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/15742","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=15742"}],"version-history":[{"count":44,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/15742\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":192694,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/15742\/revisions\/192694"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=15742"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}