Problema \n Na figura temos um quadrado dividido em 16 quadrados congruentes. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n Na resolu\u00e7\u00e3o do problema, utilizaremos duas proposi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n \n(1)<\/strong> Se dois segmentos s\u00e3o congruentes e paralelos, ent\u00e3o suas extremidades s\u00e3o v\u00e9rtices de um paralelogramo. <\/p>\n (2)<\/strong> Se os lados de um \u00e2ngulo s\u00e3o paralelos aos lados de outro \u00e2ngulo, ent\u00e3o estes \u00e2ngulos s\u00e3o congruentes ou suplementares.<\/p>\n Observe a figura abaixo.<\/p>\n Por (1)<\/strong>, podemos garantir que os segmentos de mesma cor s\u00e3o paralelos (e tamb\u00e9m s\u00e3o congruentes). Por exemplo, os segmentos [tex]AB[\/tex] e [tex]MN[\/tex] s\u00e3o paralelos e congruentes, logo [tex]AMNB[\/tex] \u00e9 um paralelogramo, de onde se conclui que [tex]AM[\/tex] e [tex]BN[\/tex] s\u00e3o paralelos. Voc\u00ea saberia justificar as duas proposi\u00e7\u00f5es utilizadas na resolu\u00e7\u00e3o deste problema?<\/strong><\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Na figura temos um quadrado dividido em 16 quadrados congruentes. Determine, em graus, a seguinte soma de \u00e2ngulos: [tex]M\\hat{A}N+M\\hat{B}N+M\\hat{C}N+M\\hat{D}N[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Na resolu\u00e7\u00e3o do problema, utilizaremos duas proposi\u00e7\u00f5es: (1) Se dois segmentos s\u00e3o congruentes e paralelos, ent\u00e3o suas extremidades s\u00e3o v\u00e9rtices de um paralelogramo. (2) Se … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nDetermine, em graus, a seguinte soma de \u00e2ngulos: [tex]M\\hat{A}N+M\\hat{B}N+M\\hat{C}N+M\\hat{D}N[\/tex].<\/p>\n![\"img](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/01\/img-problema-1-272x300.jpg\")
<\/p>\n
\n![\"resolu\u00e7\u00e3o](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/resolu\u00e7\u00e3o-1.png\")
<\/p>\n
\nNote, tamb\u00e9m, que os \u00e2ngulos em destaque na figura s\u00e3o todos agudos; portanto, por (2)<\/strong>, temos que:
\n[tex]\\qquad \\bullet M \\hat{D}E = M \\hat{C}N = \\gamma[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\bullet E \\hat{D}F = M \\hat{B}N = \\beta[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\bullet M \\hat{A}N = F \\hat{D}G = \\alpha[\/tex].
\nVeja que, pelas hip\u00f3teses, [tex]\\Delta MDG[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo e is\u00f3sceles (observe que a figura inicial \u00e9 um quadrado), tendo assim \u00e2ngulos agudos de [tex]45^{\\circ}.[\/tex]
\nAssim,
\n[tex]\\qquad M\\hat{A}N+M\\hat{B}N+M\\hat{C}N+M\\hat{D}N=\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta = 45^\\circ[\/tex].<\/p>\n
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