{"id":156590,"date":"2020-06-26T17:45:27","date_gmt":"2020-06-26T20:45:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=156590"},"modified":"2023-06-20T04:46:46","modified_gmt":"2023-06-20T07:46:46","slug":"problema-ali-babao-e-a-vigesima-terceira-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-ali-babao-e-a-vigesima-terceira-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o:  Ali Bab\u00e3o e a vig\u00e9sima terceira de suas 40 equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Fixados [tex]m,\\,n,\\,p,\\,q\\,[\/tex] e [tex]\\,r[\/tex], determine um valor de [tex]x[\/tex] que satisfa\u00e7a a equa\u00e7\u00e3o<br \/>\n[tex]\\,\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\dfrac{x-m}{n+p+q+r}+\\dfrac{x-n-p}{q+r+m}+ \\dfrac{x-q-r}{m+n+p}=3\\,.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;padding:10px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Inicialmente, vamos usar o artif\u00edcio de substituir o [tex]3[\/tex] por [tex]1+1+1[\/tex]:<\/li>\n<p>[tex] \\quad \\left(\\dfrac{x-m}{n+p+q+r}\\right)+\\left(\\dfrac{x-n-p}{q+r+m}\\right)+\\left(\\dfrac{x-q-r}{m+n+p}\\right)=1+1+1\\,.[\/tex]<\/p>\n<li>Agora, vamos &quot;passar esses uns&quot; para o lado esquerdo da igualdade, de maneira conveniente:<\/li>\n<p>[tex] \\quad \\left(\\dfrac{x-m}{n+p+q+r}-1\\right)+\\left(\\dfrac{x-n-p}{q+r+m}-1\\right)+\\left(\\dfrac{x-q-r}{m+n+p}-1\\right)=0.[\/tex]<\/p>\n<li>Em seguida, vamos efetuar a diferen\u00e7a indicada em cada par\u00eantese; observe que:<\/li>\n<p>[tex] \\quad \\left(\\dfrac{x-m}{n+p+q+r}-\\dfrac{n+p+q+r}{n+p+q+r}\\right)+\\left(\\dfrac{x-n-p}{q+r+m}-\\dfrac{q+r+m}{q+r+m}\\right)+\\left(\\dfrac{x-q-r}{m+n+p}-\\dfrac{m+n+p}{m+n+p}\\right)=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\,\\\\<br \/>\n\\quad \\left(\\dfrac{x-m-(n+p+q+r)}{n+p+q+r)}\\right)+\\left(\\dfrac{x-n-p-(q+r+m)}{q+r+m}\\right)+\\left(\\dfrac{x-q-r-(m+n+p)}{m+n+p}\\right)=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\, \\\\<br \/>\n\\quad \\boxed{\\left(\\dfrac{x-m-n-p-q-r}{n+p+q+r}\\right)+\\left(\\dfrac{x-n-p-q-r-m}{q+r+m}\\right)+\\left(\\dfrac{x-q-r-m-n-p}{m+n+p}\\right)=0}.[\/tex]<\/p>\n<li>Observe que os numeradores que aparecem nas tr\u00eas parcelas do lado esquerdo da \u00faltima igualdade s\u00e3o todos iguais a [tex]\\boxed{x-m-n-p-q-r}[\/tex]. Assim, colocando em evid\u00eancia esse numerador, temos:<\/li>\n<p>[tex]\\quad \\left(x-m-n-p-q-r\\right) \\cdot \\left(\\dfrac{1}{n+p+q+r}+\\dfrac{1}{q+r+m}+\\dfrac{1}{m+n+p}\\right)=0.[\/tex]<\/ul>\n<p>Perceba, agora, que temos um produto igual a zero; portanto, \u00e9 necess\u00e1rio que pelo menos um dos dois fatores desse produto seja zero.<br \/>\nFinalmente, fazendo [tex] \\boxed{x-m-n-p-q-r=0}[\/tex], obtemos que [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=m+n+p+q+r$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Fixados [tex]m,\\,n,\\,p,\\,q\\,[\/tex] e [tex]\\,r[\/tex], determine um valor de [tex]x[\/tex] que satisfa\u00e7a a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\,\\\\ \\qquad \\qquad \\dfrac{x-m}{n+p+q+r}+\\dfrac{x-n-p}{q+r+m}+ \\dfrac{x-q-r}{m+n+p}=3\\,.[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o Inicialmente, vamos usar o artif\u00edcio de substituir o [tex]3[\/tex] por [tex]1+1+1[\/tex]: [tex] \\quad \\left(\\dfrac{x-m}{n+p+q+r}\\right)+\\left(\\dfrac{x-n-p}{q+r+m}\\right)+\\left(\\dfrac{x-q-r}{m+n+p}\\right)=1+1+1\\,.[\/tex] Agora, vamos &quot;passar esses uns&quot; para o lado esquerdo da igualdade, de &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-ali-babao-e-a-vigesima-terceira-de-suas-40-equacoes\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-156590","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/156590","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=156590"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/156590\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":195293,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/156590\/revisions\/195293"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=156590"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}