{"id":156206,"date":"2020-06-18T14:56:28","date_gmt":"2020-06-18T17:56:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=156206"},"modified":"2023-06-20T04:48:39","modified_gmt":"2023-06-20T07:48:39","slug":"problemao-anel","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-anel\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Anel"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>Cayley Olympiad<\/strong>, 2013)<\/span> O desenho mostra um espa\u00e7o anelar, que \u00e9 a regi\u00e3o entre dois c\u00edrculos com o mesmo centro. Doze semic\u00edrculos iguais tangenciam-se e s\u00e3o colocados dentro do anel. Os di\u00e2metros dos semic\u00edrculos est\u00e3o ao longo dos di\u00e2metros do c\u00edrculo externo. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Anel-1.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"201\" height=\"205\" class=\"aligncenter size-full wp-image-154329\" \/><br \/>\nQue fra\u00e7\u00e3o do anel est\u00e1 sombreada?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"81\" height=\"97\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span><\/strong> Toda tangente a uma circunfer\u00eancia \u00e9 perpendicular ao raio no ponto de tang\u00eancia.<br \/>\n<strong><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span><\/strong> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ.[\/tex]<br \/>\n<strong><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Nota\u00e7\u00f5es:<\/strong><br \/>\n&#8211; Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex],  por [tex]\\angle XVY[\/tex] e sua medida por [tex]m\\angle{XVY}. [\/tex]<br \/>\n&#8211; Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e  [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Observe que os di\u00e2metros dos doze semic\u00edrculos est\u00e3o igualmente espa\u00e7ados de [tex]30^\\circ[\/tex], j\u00e1 que [tex]360^\\circ \\div 12=30^\\circ[\/tex].<br \/>\nConsidere dois semic\u00edrculos adjacentes <span style=\"font-size:12px\"> (veja a figura abaixo)<\/span>. Sejam [tex]A[\/tex] o centro do primeiro semic\u00edrculo, [tex]B[\/tex] o ponto de tang\u00eancia do primeiro semic\u00edrculo com o di\u00e2metro do segundo e [tex]O[\/tex] o centro do anel.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Anel-2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"276\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155937\" \/><\/p>\n<p>Observe que o \u00e2ngulo [tex]\\angle{ABO}[\/tex] \u00e9 reto, j\u00e1 que, com rela\u00e7\u00e3o ao primeiro semic\u00edrculo, [tex]\\overline{OB}[\/tex] \u00e9 uma tangente e [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 um raio. Assim, [tex]m\\angle{OAB}=60^\\circ[\/tex], pois as medidas dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]OAB[\/tex] somam [tex]180^\\circ.[\/tex]<br \/>\nSem perda de generalidade, consideremos [tex]AB = 1[\/tex]. Desta forma, [tex]OA = 2[\/tex], pois quando temos o famoso tri\u00e2ngulo de \u00e2ngulos [tex]30^\\circ[\/tex], [tex]60^\\circ[\/tex] e [tex]90^\\circ[\/tex], sua hipotenusa mede o dobro do cateto oposto ao \u00e2ngulo de [tex]30^\\circ[\/tex]. <\/p>\n<ul>\n<li>Conclu\u00edmos, ent\u00e3o, que o raio externo do anel \u00e9 [tex]3[\/tex] e o raio interno \u00e9 [tex]1[\/tex]. Ent\u00e3o, a <strong>\u00e1rea do anel<\/strong> \u00e9 dada por [tex]\\pi \\cdot 3^2 &#8211; \\pi \\cdot 1^2 = \\boxed{8 \\pi}\\,.[\/tex]<\/li>\n<li>Os semic\u00edrculos t\u00eam raio 1, ent\u00e3o doze deles t\u00eam \u00e1rea total [tex]12 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot \\pi \\cdot 1^2 = 6 \\pi\\,.[\/tex] <\/li>\n<li>Assim, a <strong>\u00e1rea sombreada<\/strong> \u00e9 [tex]8 \\pi \u2013 6 \\pi =\\boxed{ 2 \\pi}\\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalmente, a fra\u00e7\u00e3o do anel que est\u00e1 sombreada \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{2 \\pi}{8 \\pi}=\\dfrac{1}{4}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Cayley Olympiad, 2013) O desenho mostra um espa\u00e7o anelar, que \u00e9 a regi\u00e3o entre dois c\u00edrculos com o mesmo centro. Doze semic\u00edrculos iguais tangenciam-se e s\u00e3o colocados dentro do anel. Os di\u00e2metros dos semic\u00edrculos est\u00e3o ao longo dos di\u00e2metros do c\u00edrculo externo. 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