{"id":156121,"date":"2020-06-16T02:54:19","date_gmt":"2020-06-16T05:54:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=156121"},"modified":"2024-06-25T03:22:17","modified_gmt":"2024-06-25T06:22:17","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-conjunto-e-alguns-de-seus-subconjuntos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-conjunto-e-alguns-de-seus-subconjuntos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um conjunto e alguns de seus subconjuntos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220842\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#0000FF\"> (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.- <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<span style=\"font-size:12px\">(<strong>ITA<\/strong>, 2007 &#8211; Adaptado) <\/span> Sejam [tex]A[\/tex] um conjunto com [tex]18[\/tex] elementos e [tex]D[\/tex] um subconjunto de [tex]A[\/tex] com [tex]8[\/tex] elementos.<br \/>\nQuantos subconjuntos de [tex]A[\/tex] que tenham [tex]8[\/tex] ou menos elementos s\u00e3o disjuntos de [tex]D\\,[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:28px; width:95%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> Ajuda <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma <strong><em>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de  agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{ , com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e  } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Nota\u00e7\u00e3o<\/strong>: Se [tex]X[\/tex] for um conjunto finito, denotaremos por [tex]\\#(X)[\/tex] a quantidade de elementos desse conjunto.<\/p>\n<p style=\"margin:-10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob435_1.png\" alt=\"\" width=\"308\" height=\"230\" class=\"alignright size-full wp-image-156019\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob435_1.png 308w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob435_1-300x224.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 308px) 100vw, 308px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Nas condi\u00e7\u00f5es do problema, observe que <\/p>\n<ul>\n<li>para um subconjunto [tex]B[\/tex] de [tex]A[\/tex] ser disjunto de [tex]D[\/tex] necessariamente [tex]B[\/tex] deve estar contido na diferen\u00e7a [tex]A-D.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, precisamos inicialmente contar quantos subconjuntos o conjunto [tex]A-D[\/tex] tem e, em seguida, determinar quantos desses subconjuntos t\u00eam oito ou menos elementos.<br \/>\nVamos l\u00e1!<\/p>\n<ul>[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Para determinar quantos subconjuntos [tex]A-D[\/tex] tem s\u00f3 precisamos saber a quantidade de elementos do conjunto [tex]A-D[\/tex], uma vez que um conjunto com [tex]n[\/tex] elementos tem [tex]2^n[\/tex]subconjuntos.<br \/>\nComo [tex]D[\/tex] \u00e9 subconjunto de [tex]A[\/tex], a diferen\u00e7a [tex]A-D[\/tex] \u00e9 o complementar de [tex]D[\/tex] com rela\u00e7\u00e3o a [tex]A[\/tex] e talvez com essa nomenclatura fique mais f\u00e1cil voc\u00ea se lembrar de que o n\u00famero de elementos de [tex]A-D[\/tex] \u00e9 a diferen\u00e7a entre o n\u00famero de elementos de [tex]A[\/tex] e o n\u00famero de elementos de [tex]D[\/tex].<br \/>\nEm s\u00edmbolos, se [tex]m[\/tex] for o n\u00famero de elementos de [tex]A-D[\/tex], ent\u00e3o<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad m=\\#\\left(A-D\\right)=\\#\\left(A\\right)-\\#\\left(D\\right)[\/tex].<br \/>\nDessa forma, de acordo com os dados do problema, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad m=\\#\\left(A\\right)-\\#\\left(D\\right)=18-8=10[\/tex]<br \/>\ne, portanto, [tex]A-D[\/tex] tem [tex]2^{10}[\/tex] subconjuntos.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Desses [tex]2^{10}[\/tex] subconjuntos de [tex]A-D[\/tex] nos interessam apenas aqueles que t\u00eam oito elementos ou menos. Assim, devemos excluir desses [tex]2^{10}[\/tex] subconjuntos aqueles que t\u00eam dez elementos e tamb\u00e9m os que t\u00eam nove elementos.<\/p>\n<ul>\n<li>Note que o \u00fanico subconjunto de um conjunto que tem a mesma quantidade de elementos do conjunto \u00e9 o pr\u00f3prio conjunto. Assim temos um \u00fanico subconjunto de [tex]A-D[\/tex] com dez elementos: o [tex]A-D[\/tex].<\/li>\n<li>Os subconjuntos de [tex]A-D[\/tex] com nove elementos s\u00e3o aqueles em que um e somente um dos elementos de [tex]A-D[\/tex] foi retirado. Como [tex]A-D[\/tex] tem dez elementos, podemos formar dez subconjuntos distintos, eliminando em cada um exatamente um elemento do conjunto inicial.<br \/>\nObserve que tamb\u00e9m poder\u00edamos contar esses subconjuntos observando que eles s\u00e3o as poss\u00edveis escolhas de nove elementos que podemos fazer dentre os dez elementos de [tex]A-D[\/tex]. Como essas escolhas s\u00e3o feitas levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a natureza dos elementos, sem se levar em considera\u00e7\u00e3o a ordem segundo a qual esses elementos foram escolhidos, a quantidade de escolhas \u00e9 uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]10[\/tex] elementos tomados [tex]9[\/tex] a [tex]9[\/tex], ou seja,<br \/>\n[tex]\\qquad C_{10}^9=\\dfrac{10!}{(10-9)!\\,9!}=10[\/tex].\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, o conjunto [tex]A-D[\/tex] tem [tex]\\boxed{1+10=11}[\/tex] subconjuntos com dez ou nove elementos.<\/ul>\n<p>De [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], conclu\u00edmos que  [tex]A[\/tex] tem  [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2^{10}-11=1\\,013$}\\,[\/tex] subconjuntos disjuntos de [tex]D[\/tex] com oito ou menos elementos.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Um-conjunto-e-alguns-de-seus-subconjuntos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um conjunto e alguns de seus subconjuntos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) (ITA, 2007 &#8211; Adaptado) Sejam [tex]A[\/tex] um conjunto com [tex]18[\/tex] elementos e [tex]D[\/tex] um subconjunto de [tex]A[\/tex] com [tex]8[\/tex] elementos. Quantos subconjuntos de [tex]A[\/tex] que tenham [tex]8[\/tex] ou menos elementos s\u00e3o disjuntos de [tex]D\\,[\/tex]? &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-conjunto-e-alguns-de-seus-subconjuntos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-156121","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/156121","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=156121"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/156121\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220844,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/156121\/revisions\/220844"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=156121"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}