Problema \n (Canguru<\/strong>, 2014-Adaptado)<\/span> O quadrado [tex]XYZW[\/tex] tem os v\u00e9rtices [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] sobre a reta [tex]r[\/tex] e os v\u00e9rtices [tex]Z[\/tex] e [tex]W[\/tex] sobre as circunfer\u00eancias de centros [tex]O[\/tex] e [tex]O'[\/tex], sendo essas circunfer\u00eancias, de raios medindo [tex]2\\;cm[\/tex], tangentes entre si e \u00e0 reta [tex]r[\/tex], como na figura abaixo. \n<\/div>\n \n Lembretes e nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n [tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong><\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos. \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n A partir dos dados do problema, considere [tex]A[\/tex] o ponto de tang\u00eancia entre as circunfer\u00eancias e [tex]B[\/tex] o ponto de tang\u00eancia da circunfer\u00eancia de centro [tex]O[\/tex] com a reta [tex]r[\/tex]. Como o raio de cada circunfer\u00eancia mede [tex]2\\;cm[\/tex] temos que [tex]AO=OB=2[\/tex]. Considere a reta [tex]s[\/tex] perpendicular \u00e0 reta [tex]r[\/tex] e passando pelo ponto [tex]A[\/tex]. Pela simetria da figura, notemos que a interse\u00e7\u00e3o das retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio, [tex]M[\/tex], do lado do quadrado que est\u00e1 sobre a reta [tex]r[\/tex]. Assim, [tex]AO=MB=2[\/tex]. \n Seja [tex]l[\/tex] o lado do quadrado [tex]XYZW[\/tex] e considere o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]ZPO[\/tex], como na figura abaixo.<\/p>\n \n Observe que<\/p>\n assim, aplicando o Teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]ZPO[\/tex] segue que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Canguru, 2014-Adaptado) O quadrado [tex]XYZW[\/tex] tem os v\u00e9rtices [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] sobre a reta [tex]r[\/tex] e os v\u00e9rtices [tex]Z[\/tex] e [tex]W[\/tex] sobre as circunfer\u00eancias de centros [tex]O[\/tex] e [tex]O'[\/tex], sendo essas circunfer\u00eancias, de raios medindo [tex]2\\;cm[\/tex], tangentes entre si e \u00e0 reta [tex]r[\/tex], como na … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Circunfer\u00eancias.png\")
\nEncontre a medida do lado do quadrado [tex]XYZW[\/tex]. <\/strong><\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] As ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]~~ax^2+bx+c = 0~~[\/tex] s\u00e3o dadas por
\n[tex]~~~~~~~~~~~~x_1 = \\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}~~~[\/tex] e [tex]~~~x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}[\/tex],
\nonde [tex]a,b,c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, com [tex]a\\ne 0~[\/tex], e [tex]~\\Delta =b^2-4ac[\/tex].
\nNota\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span>
\n– Denotaremos o comprimento do segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]XY[\/tex].\n<\/div>\n
\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Circunfer\u00eancias1.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Circunfer\u00eancias2.png\")
<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad (OZ)^2= (ZP)^2+(OP)^2\\\\
\n\\qquad 2^2=\\bigg(2-\\dfrac{l}{2}\\bigg)^2+(2-l)^2\\\\
\n\\qquad 4=4-2l+\\dfrac{l^2}{4}+4-4l+l^2\\\\
\n\\qquad 5l^2-24l+16=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nVamos, ent\u00e3o, resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]:
\n[tex]\\qquad l=\\dfrac{24\\pm\\sqrt{576-320}}{10}\\\\
\n\\qquad l=\\dfrac{24\\pm\\sqrt{256}}{10}\\\\
\n\\qquad l=\\dfrac{24\\pm 16}{10}[\/tex]
\n[tex]\\qquad l=4[\/tex] ou [tex]l=\\dfrac{4}{5}\\,.[\/tex]
\nComo o lado do quadrado [tex]XYZW[\/tex] n\u00e3o \u00e9 maior do que os raios das circunfer\u00eancias, temos que o comprimento do lado desse quadrado \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$l=\\dfrac{4}{5}\\text{ cm }$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n