Problema (CFO PM ES, Exatus – Adaptado)<\/span> Francimar recebeu uma doa\u00e7\u00e3o de [tex]1550[\/tex] livros para montar uma biblioteca em sua escola. Para a organiza\u00e7\u00e3o da biblioteca, a dire\u00e7\u00e3o da escola liberou uma sala com estantes de tamanhos variados. \n<\/div>\n Lembretes<\/p>\n \n Dada uma PA [tex](a_{1}, a_{2}, \\dots, a_s)[\/tex] de raz\u00e3o [tex]r[\/tex]: \n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Observe que o problema define uma Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica de raz\u00e3o [tex]r=4[\/tex], sendo o primeiro termo [tex]a_{1}=14[\/tex], e al\u00e9m disso a soma dos termos dessa progress\u00e3o aritm\u00e9tica \u00e9 [tex]S_{n}=1550[\/tex]. Para saber quantas estantes temos na sala temos que determinar o n\u00famero natural [tex]n[\/tex], onde [tex]a_{n}[\/tex] \u00e9 o \u00faltimo termo dessa progress\u00e3o. Substituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}\\,[\/tex] em [tex]\\,\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] temos que: \n Vamos, ent\u00e3o, resolver a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex] n^{2}+6n-775=0 [\/tex]:<\/p>\n [tex]\\qquad \\Delta = 6^{2}- 4 \\cdot 1 \\cdot (-775)= 36+3100= 3136\\\\ \n Como [tex]n[\/tex] representa o n\u00famero de estantes na sala, [tex]n\\gt 0[\/tex]; ent\u00e3o existem exatamente [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$25$}[\/tex] estantes na sala liberada pela escola para a organiza\u00e7\u00e3o da biblioteca.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (CFO PM ES, Exatus – Adaptado) Francimar recebeu uma doa\u00e7\u00e3o de [tex]1550[\/tex] livros para montar uma biblioteca em sua escola. Para a organiza\u00e7\u00e3o da biblioteca, a dire\u00e7\u00e3o da escola liberou uma sala com estantes de tamanhos variados. Como as estantes disponibilizadas comportariam todos os livros, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nComo as estantes disponibilizadas comportariam todos os livros, Francimar colocou [tex]14[\/tex] livros na primeira estante, [tex]18[\/tex] na segunda, [tex]22[\/tex] na terceira e assim sucessivamente, colocando sempre mais quatro livros em cada estante nova que organizou, at\u00e9 utilizar todas elas.
\nQuantas estantes existem nessa sala liberada pela escola?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex] \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] O termo geral, [tex]a_{n}[\/tex], \u00e9 dado por [tex]\\boxed{a_{n}=a_{1}+ (n-1)\\cdot r}[\/tex].
\n[tex] \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] A soma dos [tex]n[\/tex] primeiros termos \u00e9 [tex]\\boxed{S_{n} =\\dfrac{ (a_{1} +a_{n}) \\cdot n}{2}}[\/tex]. <\/p>\n
\n
\nUtilizando as informa\u00e7\u00f5es do Lembrete<\/strong>, segue que:
\n[tex]\\qquad a_{n}= 14 + (n-1) \\cdot 4\\\\
\n\\qquad a_{n} = 4n+10, \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\ne tamb\u00e9m
\n[tex] \\qquad 1550=S_{n}= \\dfrac{(14+ a_{n} )\\cdot n}{2}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] <\/p>\n
\n[tex]\\qquad 1550= \\dfrac{(14+4n+10)\\cdot n}{2}\\\\
\n\\qquad 3100= 24n +4n^{2} \\\\
\n \\qquad n^{2}+6n-775=0\\,. [\/tex]<\/p>\n
\n\\qquad n_1= \\dfrac{-6+ \\sqrt{3136}}{2}= \\dfrac{-6+56}{2}= \\dfrac{50}{2}=25\\\\
\n\\qquad n_2= \\dfrac{-6 – \\sqrt{3136}}{2}= \\dfrac{-6 – 56}{2}= \\dfrac{-62}{2}=-31.[\/tex]<\/p>\n
\n