\n
Problema Calcule o valor da soma<\/p>\n sabendo que [tex]\\, \\boxed{1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}}\\,.[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Repare que: \n Nessa \u00faltima igualdade, podemos por em evid\u00eancia [tex]\\frac{1}{4}[\/tex] na segunda parcela do lado esquerdo, \n Tudo justificado?<\/strong> \n \n Quando lidamos com as chamadas s\u00e9ries num\u00e9ricas infinitas<\/strong>, isto \u00e9, "somas de infinitos n\u00fameros", nem sempre podemos nos valer da intui\u00e7\u00e3o e de propriedades que utilizamos sem problemas em somas finitas; por exemplo, agrupar parcelas em uma soma. \n Para voc\u00ea entender um pouco dos problemas que podem surgir, tente avaliar a seguinte soma infinita: ou assim:<\/p>\n ou ainda:<\/p>\n \n E a\u00ed, qual racioc\u00ednio est\u00e1 correto?<\/strong> \n 1)<\/strong> Quando o enunciado diz que \n 2)<\/strong> Como os termos da s\u00e9rie s\u00e3o todos positivos, podemos agrup\u00e1-los da maneira que nos for conveniente, sem que isso cause problemas no resultado. Assim, particularmente vale escrever \n(Ufa, tudo bem com a nossa solu\u00e7\u00e3o!)<\/p>\n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Calcule o valor da soma [tex]1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots[\/tex], sabendo que [tex]\\, \\boxed{1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}}\\,.[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o Repare que: [tex]\\quad 1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots=\\\\ \\qquad =\\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots \\right)+\\left(\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{64}+\\cdots \\right)[\/tex] Assim: [tex]\\quad \\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots\\right)+\\left(\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{64}+\\cdots\\right)=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}.[\/tex] Nessa \u00faltima igualdade, podemos por em evid\u00eancia [tex]\\frac{1}{4}[\/tex] na segunda parcela do lado esquerdo, [tex]\\quad \\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots \\right)+\\dfrac{1}{4}\\left(1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\cdots \\right)=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}[\/tex], donde segue que: [tex]\\quad \\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n\n
\n
\n[tex]\\quad 1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots=\\\\
\n\\qquad =\\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots \\right)+\\left(\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{64}+\\cdots \\right)[\/tex]
\nAssim:
\n[tex]\\quad \\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots\\right)+\\left(\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{64}+\\cdots\\right)=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\quad \\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots \\right)+\\dfrac{1}{4}\\left(1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\cdots \\right)=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}[\/tex],
\ndonde segue que:
\n[tex]\\quad \\left(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots \\right)+\\dfrac{1}{4}\\cdot \\left(\\dfrac{\\pi^{2}}{6}\\right)=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}[\/tex]
\nAssim, temos que:
\n[tex]\\quad 1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}-\\dfrac{1}{4}\\cdot \\left(\\dfrac{\\pi^{2}}{6}\\right)\\\\
\n\\quad 1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots=\\dfrac{3}{4}\\left(\\dfrac{\\pi^{2}}{6}\\right)\\\\
\n\\quad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots=\\dfrac{\\pi^{2}}{8}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nBem, nem tudo…. Veja as observa\u00e7\u00f5es abaixo!<\/p>\n
\nA defini\u00e7\u00e3o formal de uma soma infinita \u00e9 feita por limites, assunto geralmente estudado apenas nos cursos de gradua\u00e7\u00e3o (nada impede, por\u00e9m, que voc\u00ea procure saber um pouco mais a respeito! O livro An\u00e1lise Real, do saudoso professor Elon Lages Lima, pode trazer informa\u00e7\u00f5es muito interessantes para alunos no final do Ensino M\u00e9dio, assim como para professores!). <\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{S=1-1+1-1+\\cdots+1-1+\\cdots}[\/tex].
\nVoc\u00ea poderia pensar assim:<\/p>\n\n
\nS =(1-1)+(1-1)+\\cdots+(1-1)+\\cdots\\\\
\nS=0+\\cdots0+\\cdots=0,[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n\n
\nS=1+(-1+1)+(-1+1)+\\cdots+(-1+1)+\\cdots\\\\
\nS=1+0+\\cdots0+\\cdots\\\\
\n\\boxed{S=1},[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n\n
\nS =1-(1-1+1-\\cdots-1+1-\\cdots)\\\\
\nS=1-S\\\\
\n2\\cdot S=1\\\\
\n\\boxed{S=\\dfrac{1}{2}}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
\n– Nenhum dos tr\u00eas!
\nA s\u00e9rie [tex]\\boxed{1-1+1-1+\\cdots+1-1+\\cdots} [\/tex] \u00e9 o que se chama de uma s\u00e9rie n\u00e3o convergente<\/strong>, isto \u00e9, na teoria das s\u00e9ries num\u00e9ricas n\u00e3o faz sentido atribuir um valor a esta soma.
\nIsto mostra que agrupar os termos de uma s\u00e9rie infinita nem sempre produz resultados v\u00e1lidos. <\/strong>
\nPor\u00e9m, existe um teorema que nos ajuda muito. Informalmente, ele diz que, se uma s\u00e9rie for convergente (isto \u00e9, se existir um valor para a soma infinita) e se suas parcelas forem todas positivas, ent\u00e3o podemos trocar parcelas de lugar, agrup\u00e1-las, etc. Isto \u00e9, este tipo de soma "funciona melhor", intuitivamente falando.
\nE isto justifica o procedimento da solu\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad 1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots=\\dfrac{\\pi^{2}}{6}[\/tex],
\nest\u00e1 afirmando que a s\u00e9rie [tex]1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots[\/tex] \u00e9 convergente, pois possui uma soma.<\/p>\n
\n[tex]\\quad 1+\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{36}+\\cdots=\\\\
\n\\qquad =(1+\\dfrac{1}{9}+\\dfrac{1}{25}+\\dfrac{1}{49}+\\dfrac{1}{81}+\\cdots)+(\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{64}+\\cdots)\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n