{"id":155098,"date":"2020-06-13T18:12:32","date_gmt":"2020-06-13T21:12:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=155098"},"modified":"2023-06-20T04:52:43","modified_gmt":"2023-06-20T07:52:43","slug":"problemao-colorindo-as-faces-de-um-tronco-de-piramide","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-colorindo-as-faces-de-um-tronco-de-piramide\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Colorindo as faces de um tronco de pir\u00e2mide"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(Adaptado do <strong>Portal da Matem\u00e1tica<\/strong>)<\/span> Dispondo de sete cores distintas, de quantos modos podemos pintar as faces de um tronco de pir\u00e2mide cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares de maneira que as bases tenham a mesma cor e todas as faces laterais tenham cores diferentes das bases e diferentes entre si?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:40px;line-height:28px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"90\" height=\"108\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> O n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es circulares dos elementos [tex]a_1,\\, a_2,\\,a_3,\\,\\dots\\, ,\\, a_n,\\,[\/tex] \u00e9 dado por:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\left(PC\\right)_n=(n-1) \\cdot (n-2) \\cdot\\, \\cdots \\, 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\, [\/tex]<br \/>\nou, utilizando fatorial,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\left(PC\\right)_n=(n-1)![\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> O n\u00famero de Combina\u00e7\u00f5es simples de [tex]n[\/tex] elementos, tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex], \u00e9 dado por<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad C_{n\\, ,\\, r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!} \\text{, com } n,r \\in\\mathbb{N}   \\text{ e  }\\, 0 \\lt r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> <strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>Dk<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_k [\/tex] maneiras distintas e<\/li>\n<li> todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 10px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span>\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Na figura abaixo, temos um tronco de pir\u00e2mide, cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares (faces superior e inferior) e as faces laterais s\u00e3o quadril\u00e1teros.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/TRONCO01.png\" style=\" border:none\" alt=\"\" width=\"299\" height=\"191\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155103\" \/><\/p>\n<p>Antes de mais nada, note que sobrar\u00e1 uma cor; pois utilizaremos cinco cores para pintar as faces laterais e uma sexta cor para pintar as bases do tronco de pir\u00e2mide.<br \/>\nFaremos a escolha das cores em tr\u00eas etapas; observe a seguir.<\/p>\n<ul>\n<li> Temos [tex]\\boxed{7} [\/tex] possibilidades para escolher a cor das bases, sobrando [tex]6[\/tex] cores para as faces laterais. <\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/TRONCO03.png\"  style=\" border:none\"  alt=\"\" width=\"307\" height=\"199\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155129\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/TRONCO03.png 307w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/TRONCO03-300x194.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 307px) 100vw, 307px\" \/><\/p>\n<li>Agora vamos escolher [tex]5[\/tex] das [tex]6[\/tex] cores que restaram para colorir as faces.<br \/>\nIsso pode ser feito de [tex]C_6^5=\\dfrac{6!}{5!(6-5)!}=\\boxed{6}[\/tex] maneiras. <\/li>\n<li>Escolhidas as [tex] 5[\/tex] cores distintas,  o total de maneiras de colorir as faces laterais \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]5[\/tex].<br \/>\nAssim, as faces podem ser coloridas de [tex](5-1)!=4!=\\boxed{24}[\/tex] modos distintos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, podemos colorir as faces do tronco de pir\u00e2mide regular pentagonal de [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7\\times 6 \\times 24= 1008$}\\, [\/tex]  modos diferentes.<\/p>\n<p style=\"margin:10px 40px 20px 40px\">\nConforme alertamos no in\u00edcio desta solu\u00e7\u00e3o, observe que sobrou uma cor e com ela poder\u00edamos colorir uma das faces do tronco de pir\u00e2mide. Ent\u00e3o [tex] 1008[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m o n\u00famero de maneiras com que podemos pintar as faces desse tronco de uma pir\u00e2mide usando as [tex]7[\/tex] cores iniciais.<br \/>\nVeja a seguir a solu\u00e7\u00e3o independente desse novo problema.<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px; border: 1px dashed #800000; \">\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Problema:<\/strong> De quantos modos podemos pintar as faces de um tronco de uma pir\u00e2mide, cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares, usando [tex]7[\/tex] cores diferentes e de maneira que todas as faces tenham cores distintas?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Na figura abaixo, temos um tronco de pir\u00e2mide, cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares (faces superior e inferior, respectivamente) e as faces laterais s\u00e3o quadril\u00e1teros.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/TRONCO01.png\" style=\" border:none\" alt=\"\" width=\"299\" height=\"191\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155103\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Podemos escolher uma das [tex]7[\/tex] cores para colorir a base superior, sobrando [tex]6[\/tex] cores para colorir a base  inferior.<br \/>\nDessa forma, segue do <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong> que h\u00e1 [tex]7 \\cdot 6= \\boxed{42}[\/tex] formas de colorir as bases inferior e superior do tronco de pir\u00e2mide. <\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/TRONCO02.png\" style=\" border:none\" alt=\"\" width=\"297\" height=\"199\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155108\" \/><\/ul>\n<p>Sobram, ent\u00e3o, cinco cores distintas para colorir as faces laterais.<\/p>\n<ul>\n<li>O total de maneiras para colorir as cinco faces \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o circular de [tex]5[\/tex], ou seja, [tex](5-1)!=4!=\\boxed{24}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, utilizando uma vez mais o <strong>Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, podemos colorir as faces do tronco de pir\u00e2mide de [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$42 \\times 24= 1008$}\\,[\/tex]  modos diferentes.\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (Adaptado do Portal da Matem\u00e1tica) Dispondo de sete cores distintas, de quantos modos podemos pintar as faces de um tronco de pir\u00e2mide cujas bases s\u00e3o pent\u00e1gonos regulares de maneira que as bases tenham a mesma cor e todas as faces laterais tenham cores diferentes das &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-colorindo-as-faces-de-um-tronco-de-piramide\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":732,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-155098","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/155098","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/732"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=155098"}],"version-history":[{"count":52,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/155098\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":195302,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/155098\/revisions\/195302"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=155098"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}