{"id":153766,"date":"2020-05-11T18:08:22","date_gmt":"2020-05-11T21:08:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153766"},"modified":"2023-06-14T03:54:02","modified_gmt":"2023-06-14T06:54:02","slug":"problemao-igual-a-4","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-igual-a-4\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Igual a 4?"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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(Extra\u00eddo do material do PECI\/OBMEP<\/strong>)<\/span> Mostre que [tex]\\sqrt[3]{20+14\\sqrt{2}}+\\sqrt[3]{20-14\\sqrt{2}}=4[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Antes de mais nada, observe que a express\u00e3o [tex]\\sqrt[3]{20+14\\sqrt{2}}+\\sqrt[3]{20-14\\sqrt{2}}[\/tex] \u00e9 de fato um n\u00famero real; pois, como [tex]20 + 14\\sqrt{2}[\/tex] e [tex]20 – 14\\sqrt{2}[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, a raiz c\u00fabica de cada um destes valores tamb\u00e9m \u00e9 real e, consequentemente, a soma dessas ra\u00edzes c\u00fabicas tamb\u00e9m.
\nSeja, ent\u00e3o, [tex]x=\\sqrt[3]{20+14\\sqrt{2}}+\\sqrt[3]{20-14\\sqrt{2}}[\/tex].
\nFazendo [tex]a=\\sqrt[3]{20+14\\sqrt{2}}[\/tex] e [tex]b=\\sqrt[3]{20-14\\sqrt{2}}[\/tex], obtemos que:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}a^3+b^3&=(\\sqrt[3]{20+14\\sqrt{2}})^3+(\\sqrt[3]{20-14\\sqrt{2}})^3\\\\
\n&=20+14\\sqrt{2} +20-14\\sqrt{2}=40\\end{align*}[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}a \\cdot b&=(\\sqrt[3]{20+14\\sqrt{2}}) \\cdot (\\sqrt[3]{20-14\\sqrt{2}})\\\\
\n&=\\sqrt[3]{(20)^2-(14\\sqrt{2})^2}=\\sqrt[3]{400-392}=\\sqrt[3]{8}=2.\\end{align*}[\/tex]
\nAl\u00e9m disso, temos que:
\n[tex]\\qquad x=a+b[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3 \\cdot a \\cdot b \\cdot (a+b)[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^3=40+3 \\cdot 2 \\cdot x[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^3-6 \\cdot x-40=0[\/tex]
\nAgora, vamos fatorar a express\u00e3o que aparece no lado esquerdo dessa \u00faltima igualdade e, para isso, a ela vamos adicionar e subtrair a express\u00e3o [tex]4x^2[\/tex] e transformar [tex]-6x[\/tex] em [tex]-16x+10x[\/tex]. Desta forma, obtemos:
\n[tex]\\qquad x^3+(4x^2-4x^2)+(-16x+10x)-40=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad (x^3-4x^2)+(4x^2-16x)+(10x-40)=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2(x-4)+4x(x-4)+10(x-4)=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{(x-4)(x^2+4x+10)=0}[\/tex].
\nAssim, [tex]x-4=0\\,[\/tex] ou [tex]\\, x^2+4x+10=0[\/tex] e, portanto, temos duas possibilidades:<\/p>\n