Problema \n Em um dep\u00f3sito h\u00e1 [tex]p[\/tex] caixas de tamanhos diferentes que s\u00e3o utilizadas para alocar objetos especiais de um mesmo tipo. Se colocadas em ordem crescente de volume, a quantidade m\u00e1xima de objetos que essas caixas comportam s\u00e3o, respectivamente, [tex]x, x+4,x+8,\\, \\dots \\,, x+ 4\\cdot (p-1)[\/tex] objetos, sendo que a caixa de maior volume comporta no m\u00e1ximo [tex]31[\/tex] objetos. \n<\/div>\n Lembretes<\/p>\n \n Dada uma PA [tex](a_{1}, a_{2}, \\dots, a_s)[\/tex] de raz\u00e3o [tex]r[\/tex]:<\/p>\n \n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n Considere a sequ\u00eancia de inteiros positivos: \n [tex]\\qquad 31=x +4(p-1)\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] <\/p>\n \n [tex]\\qquad \\dfrac{[x+x+4(p-1)]p}{2}=136. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)} [\/tex] <\/p>\n \n Segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] o seguinte sistema nas inc\u00f3gnitas [tex]x[\/tex] e [tex]p[\/tex]:<\/p>\n \n [tex]\\qquad \\begin{cases} \n Multiplicando [tex] \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] por [tex]-p[\/tex] e somando o resultado com [tex] \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] segue que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Em um dep\u00f3sito h\u00e1 [tex]p[\/tex] caixas de tamanhos diferentes que s\u00e3o utilizadas para alocar objetos especiais de um mesmo tipo. Se colocadas em ordem crescente de volume, a quantidade m\u00e1xima de objetos que essas caixas comportam s\u00e3o, respectivamente, [tex]x, x+4,x+8,\\, \\dots \\,, x+ 4\\cdot (p-1)[\/tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nAproveitando a capacidade m\u00e1xima de cada caixa, nelas foram distribu\u00eddos [tex]136[\/tex] objetos.
\nQuantas caixas para embalar esses objetos especiais tinha no dep\u00f3sito?
\nQuantos desses objetos foram alocados na caixa de menor volume?<\/strong><\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n\n
\n
\n[tex]\\qquad x, x+4,x+8,\\, \\dots\\,, x+4 \\cdot (p-1)[\/tex]
\ne observe que temos uma Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica finita de raz\u00e3o [tex]r=4[\/tex], primeiro termo [tex]a_{1}=x[\/tex] e \u00faltimo termo igual a [tex]a_{p}=x+4 \\cdot (p-1)=31[\/tex]. Al\u00e9m disso, a soma dos [tex]p [\/tex] termos dessa sequ\u00eancia \u00e9 [tex]S_{p} = 136[\/tex]. Dessa forma:<\/p>\n
\nxp+2(p-1)p=136 \\quad \\quad \\textcolor{#800000}{(iii)}\\\\
\nx+4(p-1)=31 \\quad \\qquad \\;\\, \\textcolor{#800000}{(iv)}
\n\\end{cases}\\quad[\/tex]. <\/p>\n
\n[tex]\\qquad -xp-4(p-1)p + xp +2p(p-1) = -31p +136\\\\
\n\\qquad 2p^{2} -33p +136=0.[\/tex]
\nObtemos, assim, uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica na inc\u00f3gnita [tex]p[\/tex]. Resolvendo a equa\u00e7\u00e3o, obtemos como discriminante:
\n[tex]\\qquad \\Delta = (-33)^{2} -4 \\cdot 2 \\cdot 136=1089-1088=1 [\/tex].
\nLogo, temos dois valores poss\u00edveis para [tex]p[\/tex]:
\n[tex]\\qquad p_1= \\dfrac{33+1}{4}= \\dfrac{34}{4},\\\\
\n\\qquad p_2=\\dfrac{33-1}{4} = \\dfrac{32}{4} = 8.[\/tex]
\nObserve que [tex]p_1= \\dfrac{34}{4}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero inteiro; assim, desconsideraremos esse valor.
\nLogo, no dep\u00f3sito existiam [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8$}\\,[\/tex] caixas. E como
\n[tex]\\qquad x = 31-4(p-1) = 31-4 \\cdot 7=31 – 28=3[\/tex],
\nent\u00e3o na caixa de menor volume foram alocados [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$}\\,[\/tex] objetos.<\/p>\n
\n