{"id":153730,"date":"2020-05-11T21:42:03","date_gmt":"2020-05-12T00:42:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153730"},"modified":"2024-06-25T03:07:33","modified_gmt":"2024-06-25T06:07:33","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-tres-faces-de-dois-dados","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-tres-faces-de-dois-dados\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Tr\u00eas faces de dois dados"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220822\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 6\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Dois dados comuns foram encostados em uma parede, de modo que s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel ver tr\u00eas faces de cada um. Marquinhos se aproximou dos dois dados e contou 27 pontos desenhados nessas faces. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob428_2.png\" style=\"border: none;\"   alt=\"\" width=\"466\" height=\"368\" class=\"aligncenter size-full wp-image-148494\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob428_2.png 466w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob428_2-300x237.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 466px) 100vw, 466px\" \/><\/p>\n<p><strong>Qual o total de pontos que Marquinhos pode ter visto em cada um dos dois dados?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1 cb38\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"81\" height=\"97\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> Dica<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Em um dado comum, a soma dos pontos de duas faces opostas \u00e9 sempre [tex]7[\/tex]. <\/strong><br \/>\nSe necess\u00e1rio, voc\u00ea pode utilizar o applet abaixo para visualizar essa afirma\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"border: 2px dashed #800000; text-align:justify; padding: 10px; width:95%; margin-left: auto; margin-right: auto;\" >\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"> Um applet para ajudar <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Espere o applet carregar. <span style=\"font-size:12px\">(O aplicativo abrir\u00e1 uma janela 3D; assim, ele pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span><br \/>\n<strong>(2)<\/strong> Para movimentar o dado, clique em qualquer lugar da janela do aplicativo com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento.<\/p>\n<p style=\"margin:30px 30px 10px 30px; text-align:center\">\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Tr\u00eas faces de dois dados\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/vj62shbq\/width\/469\/height\/464\/border\/ffffff\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"469px\" height=\"464px\" style=\"border:3px solid #800000;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size: 14px;\">OBMEP_ srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\">GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>A maior soma de pontos poss\u00edveis em tr\u00eas faces de um dado \u00e9 [tex]6+5+4=15[\/tex]. Dessa forma, a quantidade de pontos que Marquinhos viu em cada dado define duas somas, cada uma valendo no m\u00e1ximo [tex]15[\/tex], cuja soma \u00e9 [tex]27[\/tex]. <span style=\"font-size:12px;\">(\u00c9 uma soma de somas, mesmo!)<\/span>.<br \/>\nObserve que:<\/p>\n<ul>\n<li>Se uma das somas for [tex]15[\/tex], a outra ser\u00e1 [tex]12[\/tex].<\/li>\n<li>Se uma das somas for [tex]14[\/tex], a outra ser\u00e1 [tex]13[\/tex].<\/li>\n<li>Se uma das somas for [tex]13[\/tex], a outra ser\u00e1 [tex]14[\/tex].<\/li>\n<li>Se uma das somas for [tex]12[\/tex], a outra ser\u00e1 [tex]15[\/tex].<\/li>\n<li>Se uma das somas for [tex]11[\/tex], ou menos do que [tex]11[\/tex], mesmo que a outra seja [tex]15[\/tex], que \u00e9 o m\u00e1ximo poss\u00edvel, a soma das duas somas seria menor do que [tex]27[\/tex]: [tex]11+15=26\\lt27[\/tex], [tex]10+15=25\\lt27[\/tex], e assim por diante.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, temos apenas duas possibilidades: [tex]\\boxed{\\text{15 e 12}}[\/tex] ; [tex]\\boxed{\\text{14 e 13}}.[\/tex]<br \/>\nSer\u00e1 que na pr\u00e1tica ambas s\u00e3o poss\u00edveis, j\u00e1 que pela posi\u00e7\u00e3o dos dois dados n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel observar duas faces que sejam opostas? Vejamos&#8230;<\/p>\n<ul>\n<li>As somas [tex]\\boxed{\\text{15 e 12}}[\/tex] s\u00e3o poss\u00edveis de serem obtidas; veja o esqueminha abaixo.<\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob428_4.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"638\" height=\"131\" class=\"aligncenter size-full wp-image-154521\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob428_4.png 638w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/prob428_4-300x62.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 638px) 100vw, 638px\" \/><br \/>\nObserve tamb\u00e9m que, em cada dado, as faces que cont\u00eam a quantidade necess\u00e1ria de pontinhos s\u00e3o adjacentes e, portanto, n\u00e3o temos duas faces opostas sendo utilizadas.<\/p>\n<li>No caso das somas [tex]\\boxed{\\text{14 e 13}}[\/tex], temos um problema com a soma [tex]13[\/tex]. <\/li>\n<p>Observe que se utilizarmos n\u00fameros naturais distintos menores do que [tex]5[\/tex], a maior soma poss\u00edvel seria [tex]4+3+2=9[\/tex] e n\u00e3o [tex]13[\/tex]. Logo, devemos utilizar o [tex]5[\/tex] ou o [tex]6[\/tex] na soma de [tex]13[\/tex]. Vejamos as possibilidades.<\/p>\n<ul>\n<li>Utilizando o [tex]6[\/tex] ter\u00edamos os seguintes casos:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad \\boxed{6+6+1=13}[\/tex]; mas n\u00e3o temos duas faces distintas com seis pontinhos.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{6+5+2=13}[\/tex]; mas [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] s\u00e3o faces opostas.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{6+4+3=13}[\/tex]; mas [tex]3[\/tex] e [tex]4[\/tex] s\u00e3o faces opostas.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{6+3+4=13}[\/tex]; possibilidade j\u00e1 analisada.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{6+2+5=13}[\/tex]; possibilidade j\u00e1 analisada.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{6+1+6=13}[\/tex];  possibilidade j\u00e1 analisada.<\/p>\n<li>Utilizando o [tex]5[\/tex] ter\u00edamos os seguintes casos:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad \\boxed{5+6+2=13}[\/tex]; mas [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] s\u00e3o faces opostas.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{5+5+3=13}[\/tex]; mas n\u00e3o temos duas faces distintas com cinco pontinhos.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{5+4+4=13}[\/tex]; mas n\u00e3o temos duas faces distintas com quatro pontinhos.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{5+3+5=13}[\/tex]; possibilidade j\u00e1 analisada.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{5+2+6=13}[\/tex]; possibilidade j\u00e1 analisada.<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{5+1+7=13}[\/tex]; mas n\u00e3o temos faces com sete pontinhos.\n<\/ul>\n<p>Ent\u00e3o, de fato, n\u00e3o conseguimos obter [tex]13[\/tex] a partir de tr\u00eas faces adjacentes de um dado comum.<\/ul>\n<p>Portanto, Marquinhos viu um total de  [tex]  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 15\\,$}[\/tex]  em um dado e [tex]  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 12\\,$}[\/tex]  no outro.<br \/>\nVoc\u00ea pode visualizar a solu\u00e7\u00e3o [tex]15+12[\/tex] usando o applet disponibilizado a seguir.<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"border: 2px dashed #800000; text-align:justify; padding: 10px; width:90%; margin-left: auto; margin-right: auto;\" >\n<p class=\"c3 ti3\"> Outro applet para ajudar <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Espere o applet carregar. <span style=\"font-size:12px\">(O aplicativo abrir\u00e1 uma janela 3D; assim, ele pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span><br \/>\n<strong>(2)<\/strong> Para ter a mesma visualiza\u00e7\u00e3o do Marquinhos, clique em qualquer lugar da janela do aplicativo com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o mouse pressionado e o movimente.<\/p>\n<p style=\"margin:30px 30px 10px 30px; text-align:center\">\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Tr\u00eas faces de dois dados solu\u00e7\u00e3o\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/suekhrcz\/width\/645\/height\/652\/border\/888888\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/true\/ctl\/false\" width=\"645px\" height=\"652px\" style=\"border:3px solid #800000;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size: 14px;\">OBMEP_ srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\">GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<\/p><\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/Tr\u00eas-faces-de-dois-dados_-3_.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Tr\u00eas faces de dois dados.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 6\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Dois dados comuns foram encostados em uma parede, de modo que s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel ver tr\u00eas faces de cada um. 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