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A linguagem matem\u00e1tica<\/p>\n
Finalizando . . .<\/p>\n
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<\/span>Na Matem\u00e1tica n\u00e3o pode haver ambiguidades, imprecis\u00f5es ou possibilidade de interpreta\u00e7\u00f5es d\u00fabias; assim, ela disp\u00f5e de uma linguagem pr\u00f3pria, precisa e rigorosa. No estudo de qualquer teoria matem\u00e1tica tr\u00eas elementos aparecem inevitavelmente: <\/p>\n defini\u00e7\u00e3o; teorema; demonstra\u00e7\u00e3o<\/strong>. <\/p>\n <\/span>Os objetos com os quais a teoria trabalha s\u00e3o apresentados pelas defini\u00e7\u00f5es<\/strong>; por meio dos teoremas <\/strong>s\u00e3o feitas declara\u00e7\u00f5es sobre o que \u00e9 verdadeiro a respeito dos objetos definidos e as demonstra\u00e7\u00f5es <\/strong>s\u00e3o as provas irrefut\u00e1veis de que os teoremas s\u00e3o verdadeiros dentro daquela teoria. Vejamos ent\u00e3o, sem muita formalidade, cada um desses elementos.<\/p>\n \n para significar que:<\/p>\n \n ➤<\/span> Lema<\/strong>: \u00e9 um teorema utilizado para provar outro teorema mais importante que lhe sucede. \n<\/div>\n \n \n<\/div>\n Um cantinho para a Hist\u00f3ria.<\/p>\n \n
\n<\/span>Como objetos matem\u00e1ticos s\u00e3o abstratos, a exist\u00eancia deles se d\u00e1 por meio de defini\u00e7\u00f5es. Uma defini\u00e7\u00e3o estabelece condi\u00e7\u00f5es espec\u00edficas para que um objeto seja o que ele \u00e9; assim, uma defini\u00e7\u00e3o estabelece condi\u00e7\u00f5es necess\u00e1rias e suficientes para que um objeto receba um determinado nome.
\n<\/span>Embora as propriedades particulares que caracterizam um objeto que tenha um determinado nome sejam condi\u00e7\u00f5es necess\u00e1rias e suficientes para que o objeto tenha aquele nome (nome <\/strong>[tex]\\Leftrightarrow[\/tex] propriedades<\/strong>), de modo geral, n\u00e3o utilizamos o "se, e somente se" em defini\u00e7\u00f5es. \u00c9 usual escrevermos, simplesmente,<\/p>\n\n
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\n<\/span>Teorema \u00e9 uma afirma\u00e7\u00e3o que pode ser provada (e, no desenvolvimento de uma teoria matem\u00e1tica, vai ser provada). De maneira geral, os teoremas s\u00e3o expressos por meio de afirma\u00e7\u00f5es do tipo "Se [tex]P[\/tex], ent\u00e3o [tex]Q[\/tex]".
\n<\/span>Quando um teorema \u00e9 escrito na forma implicativa [tex]P \\Rightarrow Q[\/tex], a propriedade (ou senten\u00e7a aberta) [tex]P[\/tex] \u00e9 dita a hip\u00f3tese <\/em><\/strong>do teorema e, a propriedade (ou senten\u00e7a aberta) [tex]Q[\/tex], sua tese<\/em><\/strong>. \u00c9 claro que a propriedade [tex]P[\/tex] pode ser a conjuga\u00e7\u00e3o de v\u00e1rias propriedades: [tex]P: P_1[\/tex] e [tex]P_2[\/tex] e [tex] \\, \\cdots \\, [\/tex] e [tex]P_n[\/tex], com cada [tex]P_i[\/tex] uma propriedade.
\n<\/span>Dependendo de sua import\u00e2ncia na teoria que est\u00e1 sendo apresentada, um teorema pode ter diferentes nomes:<\/p>\n
\n ➤<\/span> Corol\u00e1rio<\/strong>: \u00e9 um teorema obtido com uma prova r\u00e1pida como consequ\u00eancia de outro teorema que lhe antecede.
\n ➤<\/span> Proposi\u00e7\u00e3o<\/strong>: \u00e9 um teorema de import\u00e2ncia secund\u00e1ria dentro da teoria que est\u00e1 sendo desenvolvida.<\/p>\n
\n<\/span>De maneira geral, uma demonstra\u00e7\u00e3o \u00e9 a prova matem\u00e1tica de que uma dada propriedade (senten\u00e7a) [tex]T[\/tex] \u00e9 deduzida de uma outra propriedade (senten\u00e7a) [tex]H[\/tex]. Essa prova \u00e9 feita por meio de uma cadeia de argumenta\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas que utilizam defini\u00e7\u00f5es, propriedades ou resultados j\u00e1 conhecidos. Nesse processo, [tex]H[\/tex] \u00e9 denominada hip\u00f3tese <\/strong>e, [tex]T[\/tex], tese<\/strong>.
\n<\/span>Elaborar provas de teoremas n\u00e3o \u00e9 uma atividade que efetivamente possa ser ensinada. A aprendizagem se d\u00e1 normalmente por experi\u00eancia: a princ\u00edpio \u00e9 interessante compreender e imitar provas existentes, com a expectativa de que isso ajude no processo de cria\u00e7\u00e3o de provas originais. <\/p>\n
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