{"id":153702,"date":"2020-05-09T17:44:17","date_gmt":"2020-05-09T20:44:17","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=153702"},"modified":"2020-05-09T17:47:34","modified_gmt":"2020-05-09T20:47:34","slug":"7-ilustracoes-e-exercicios","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/7-ilustracoes-e-exercicios\/","title":{"rendered":"7. Ilustra\u00e7\u00f5es e exerc\u00edcios"},"content":{"rendered":"

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Senten\u00e7as abertas e quantificadores<\/em><\/p>\n

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Ilustra\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\nNa Matem\u00e1tica \u00e9 comum utilizarmos quantificadores para transformar uma senten\u00e7a aberta em uma proposi\u00e7\u00e3o.
\n ✐ <\/span>Vamos apresentar situa\u00e7\u00f5es reais de verifica\u00e7\u00e3o da verdade ou falsidade de algumas proposi\u00e7\u00f5es desse tipo.
\n\"fig002\"\"fig003\"\"fig004_2\"\n<\/div>\n

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Exerc\u00edcios<\/p>\n

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\n ✐ <\/span>Escreva em linguagem simb\u00f3lica cada uma das afirma\u00e7\u00f5es abaixo. Explicite para cada uma o universo de discurso e se nesse universo a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira.<\/p>\n

\n(a) Existe um inteiro [tex]n[\/tex] tal que [tex]4 = n + 2[\/tex].
\n(b) Para qualquer inteiro [tex]n[\/tex], [tex]4 = n + 2[\/tex].
\n(c) Todos os estudantes gostam de l\u00f3gica.
\n(d) Cada pessoa tem uma m\u00e3e.
\n(e) Alguns inteiros s\u00e3o pares e divis\u00edveis por [tex]5[\/tex].
\n(f) Alguns inteiros s\u00e3o pares ou divis\u00edveis por [tex]5[\/tex].
\n(g) Pelo menos uma letra da palavra laranja <\/em> \u00e9 vogal.
\n(h) [tex]x^2-16=0[\/tex] possui uma solu\u00e7\u00e3o positiva.
\n(i) Toda solu\u00e7\u00e3o de [tex]x^2-16=0[\/tex] \u00e9 positiva.
\n(j) Para todo inteiro [tex]n[\/tex], existe um inteiro [tex]t[\/tex] tal que [tex]n=2t[\/tex].
\n(k) A soma de quaisquer dois inteiros \u00edmpares \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n<\/div>\n

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\n ✐ <\/span> Apresente um exemplo de proposi\u00e7\u00e3o para cada f\u00f3rmula abaixo e analise se as proposi\u00e7\u00f5es apresentadas s\u00e3o verdadeiras ou falsas.<\/p>\n

(a) [tex] \\exists \\, x \\in U \\, | \\, (p(x)\\land q(x)). [\/tex]
\n(b) [tex] [ \\exists \\, x \\in U \\, | \\, p(x) ] \\land \\left[ \\exists \\, x \\in U \\, | \\, q(x) \\right]. [\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

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\n ✐ <\/span> As bicondicionais abaixo s\u00e3o falsas ou verdadeiras? D\u00ea exemplos para mostrar as falsas.<\/p>\n

(a) [tex][ \\exists \\, x \\in U \\, | \\, (p(x)\\lor q(x))] \\longleftrightarrow [\\exists \\, x \\in U \\, | \\, p(x) \\lor \\exists \\, x \\in U \\, | \\, q(x) ]. [\/tex]
\n(b) [tex][ \\forall \\, x \\in U, \\, (p(x)\\lor q(x))] \\longleftrightarrow [(\\forall \\, x \\in U, \\, p(x)) \\lor (\\forall \\, x \\in U, \\, q(x))]. [\/tex]
\n(c) [tex][ \\forall \\, x \\in U, \\, (p(x)\\land q(x))] \\longleftrightarrow [(\\forall \\, x \\in U, \\, p(x)) \\land (\\forall \\, x \\in U, \\, q(x))]. [\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

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\n ✐ <\/span>Utilize quantificadores para transformar as pr\u00f3ximas senten\u00e7as abertas em proposi\u00e7\u00f5es verdadeiras no conjunto dos n\u00fameros reais. <\/p>\n

\"fig005\"<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n ✐ <\/span>Considere [tex]U=\\{1, 2, … 9, 10\\}[\/tex] e determine o valor l\u00f3gico de cada uma das seguintes proposi\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

(a) [tex]\\forall \\, x \\in U, \\exists \\, y \\in U \\, | \\, x + y = 16[\/tex]
\n(b) [tex]\\forall \\, x \\in U \\, e \\, \\forall \\, y \\in U, \\, x + y \\lt 16[\/tex]
\n(c) [tex]\\exists \\, x \\in U \\, e \\, \\exists \\, y \\in U \\, | \\, x + y \\gt 16[\/tex]
\n(d) [tex]\\exists \\, x \\in U \\, | \\, \\forall \\, y \\in U, \\, x + y = 16[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

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\nPara distrair…<\/strong>
\n ✐ <\/span> (CANGURU – 2009<\/strong>: N\u00cdVEL C) Na ilha dos verazes e mentirosos, [tex]25[\/tex] pessoas esperam em uma fila.
\nTodo mundo, exceto a primeira pessoa da fila, diz que a pessoa da frente \u00e9 um mentiroso.
\nO primeiro da fila disse que todos atr\u00e1s dele s\u00e3o mentirosos.
\nQuantos mentirosos h\u00e1 na fila? <\/strong>
\nObserva\u00e7\u00e3o: Os verazes sempre dizem a verdade, ao passo que os mentirosos sempre falam mentira.<\/p>\n

\n

✐ <\/span> (CANGURU – 2010<\/strong>: N\u00cdVEL C) Numa sala de reuni\u00e3o havia algumas pessoas que diziam somente a verdade e as demais somente mentiam. Num dado momento, tr\u00eas pessoas fizeram as afirma\u00e7\u00f5es a seguir.
\n1\u00aa pessoa: "N\u00e3o h\u00e1 mais do que tr\u00eas pessoas nesta sala. Todos n\u00f3s somos mentirosos."
\n2\u00aa pessoa: "N\u00e3o h\u00e1 mais do que quatro pessoas nesta sala. Alguns n\u00e3o s\u00e3o mentirosos."
\n3\u00aa pessoa: "H\u00e1 cinco pessoas nesta sala. Tr\u00eas s\u00e3o mentirosas."
\nQuantas pessoas havia na sala e quantas entre elas eram mentirosas?<\/strong><\/p>\n

\n

✐ <\/span> (CANGURU – 2012<\/strong>: N\u00cdVEL S) Todo gato no Pa\u00eds das Maravilhas \u00e9 s\u00e1bio ou louco.
\nSe um gato s\u00e1bio estiver em uma sala onde h\u00e1 mais tr\u00eas gatos loucos, ent\u00e3o ele tamb\u00e9m se torna louco.
\nSe um gato louco estiver com outros tr\u00eas gatos s\u00e1bios numa mesma sala, ent\u00e3o ele ser\u00e1 declarado louco pelos gatos s\u00e1bios.
\nTr\u00eas gatos entraram numa sala vazia e, assim que um quarto gato entrou nessa sala, o primeiro que havia entrado, saiu.
\nLogo que o quinto gato entrou, saiu o segundo que tinha entrado, e assim por diante.
\nDepois que o 2012\u00ba gato entrou, aconteceu pela primeira vez de um gato ser declarado louco.
\nQuais dos dois gatos a seguir poderiam estar loucos logo depois de entrar na sala?<\/strong>
\n(A) O 1\u00ba e o 2011\u00ba
\n(B) O 2\u00ba e o 2010\u00ba
\n(C) O 3\u00ba e o 2009\u00ba
\n(D) O 4\u00ba e o 2012\u00ba
\n(E) O 2\u00ba e o 2011\u00ba\n<\/div>\n<\/div>\n

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\"\"<\/td>\n\n

Uma pessoa n\u00e3o precisa necessariamente saber L\u00f3gica para estudar Matem\u00e1tica.
\nMas a L\u00f3gica ajuda, hem?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

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